湖南省株洲市2015年中考数学真题试题（含解析）.doc

株洲市2015年中考数学真题试卷（带答案）‎ 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，共24分）‎ ‎1、2的相反数是 A、　　　　　B、‎2　‎　　　C　　　　　　D、‎ ‎【试题分析】‎ 本题知识点：相反数的意义，可以从代数意义与几何意义上理解。‎ 答案为A ‎2、已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于 A、35°　　　　B、55°　　　　C、65°　　　　　　D、145°‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为互余两个角的性质理解：互余的两个角和为90°，从而解得。‎ 答案为：B ‎3、下列等式中，正确的是 A、 B、 C、 D、‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：简单的整式的运算：A、　同类项的合并，系数合并，字母与指数不变；B、是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；C、是积的乘方的运用，同时要注意符号的确定；D、是整式乘法公式的运用 答案为：B ‎4、下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A、等腰三角形　　B、正三角形　　　C、平行四边形　　D、正方形 ‎【试题分析】‎ 本题考点为：轴对称图形与中心对称图形的理解 答案为：D ‎5、从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是 A、　　　　　B、　　　　C、　　　　　D、‎ ‎【试题分析】‎ 本题有两个：一、2,3，4,5从中选出一组数的所有可能性，注意任选两个，是指不能重复；二、反比例函数经过的点的理解；‎ 答案为：D 11‎ ‎6、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是 A、22°　　　　B、26°　　　　　C、32°　　　　D、68°‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度数 答案为：A ‎7、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是 A、　　　　　　B、　　　　　C、　　　　　D、‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用AB∥EF∥CD得到△ABE∽△DCE，得到，△BEF∽△BCD得到，故可知答案 答案为：C ‎8、有两个一元二次方程：M：N：，其中，以下列四个结论中，错误的是 A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；‎ B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；‎ C、如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；‎ D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 ‎【试题分析】‎ 本题是关于二元一次方程的判别式，及根与系数的关系：‎ A、∵M有两个不相等的实数根 ‎∴△＞0‎ 即 而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根；‎ B、M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝＞0也大于0，故N的两个根也是同号的。‎ 11‎ C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立。‎ D、比较方程M与N可得： ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ 故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1‎ 答案为：D 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9、如果手机通话每分钟收费元，那么通话分钟，收费　　　　元。‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点是：列代数式，根据公式：收费＝单价×时间 答案为：‎ ‎10、在平面直角坐标系中，点（－3,2）关于轴的对称点的坐标是　　　　。‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点是：坐标的对称问题。可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变。‎ 答案为：（3,2）‎ ‎11、如图，∥，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是　　　　　　。‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：平行线的性质，邻补角的关系，三角形的内角和。‎ 答案为：65°‎ ‎12、某大学自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算。已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是　　　　分。‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：加权平均数的运用，或者直接利用应用题来解答。‎ 答案为：90分 ‎13、因式分解：＝　　　　　　　。‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式，然后还要注意彻底分解， 仍可以利用平方差公式分解。‎ 答案为：‎ ‎14、已知直线与轴的交点在A（2,0），B（3,0）之间（包括A、B两点）则的取值范围是　　　　　。‎ ‎【试题分析】‎ 11‎ 本题考点为：一次函数与轴的性质，方程，不等式的综合考点 而的取值范围为：‎ 即 从而解出的取值范围 答案为：‎ ‎15、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　　　　‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等；‎ 由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE ‎　　　　　　由直角三角形可得：，代入可得 答案为：6‎ ‎16、“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，和中有一个表示多边形那边上（含原点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是还是表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是　　　；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是　　　　‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点：找到规律，求出表示的意义；‎ 由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式可知，为偶数，故，，即为边上整点的个数，为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：，，代入公式 11‎ ‎＝6；利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。‎ 利用数出公式中的，代入公式求得S＝17.5‎ 答案为：17.5‎ 三、解答题（要求写出必要的解答步骤，本大题共8小题，共52分）‎ ‎17、（本题满分4分）计算：‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：简单的计算，包含绝对值的计算，零指数次幂，特殊角的三角函数值 解：原式＝3＋1－1‎ ‎　　　　＝3‎ ‎18、（本题满分4分）先化简，再求值： ，其中 ‎【试题分析】‎ 本题考点为：分式的混合运算，化简后求值 ‎19、（本题满分6分）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点为：一元一次不等式的应用题：‎ 由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元，即乒乓球的金额＋球拍的金额≤200①‎ 涉及的公式为：金额＝单价×数量 金额 单价 数量 乒乓球 ‎1.5×20＝30‎ ‎1.5‎ ‎20‎ 球拍 ‎22‎ 将相关数据代入①即可解得：‎ 解：设购买球拍个，依题意得：‎ 11‎ 解之得：‎ 由于取整数，故的最大值为7。‎ 答：略 ‎20、（本题满分6分）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的学生中随机抽取10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形统计图：‎ 编号 成绩 等级 编号 成绩 等级 ① ‎95‎ A ‎⑥‎ ‎76‎ B ② ‎78‎ B ‎⑦‎ ‎85‎ A ③ ‎72‎ C ‎⑧‎ ‎82‎ B ④ ‎79‎ B ‎⑨‎ ‎77‎ B ⑤ ‎92‎ A ‎⑩‎ ‎69‎ C 请回答下列问题：‎ ‎（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是　　　　;‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少？‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点：数据分析与统计 ‎（1）从表格中找到A的最低分为85分，故易知孔明的成绩为A ‎（2）易知：C等的人数为10－3－5＝2‎ ‎（3）这是由抽样来衡量整体的方法：10个中A有3个，所以A的比例为 总人数为：‎ ‎21、（本题满分6分）P表示边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与的关系式是：‎ ‎ (其中，是常数，)‎ ‎（1）填空：通过画图可得：‎ ‎　　　四边形时，P＝　　　(填数字)，五边形时，，P＝　　　(填数字)‎ ‎（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求的值 ‎（注：本题的多边形均指凸多边形）‎ ‎【试题分析】‎ 本题考点：待定系数法求出，二元一次方程组 ‎（1）由画图可得，当时，‎ ‎　　　　　　　　当时，‎ ‎（2）将上述值代入公式可得：‎ 11‎ 化简得：‎ 解之得：‎ ‎22、（本题满分8分）如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，‎ ‎（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；‎ ‎（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【试题分析】‎ ‎（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”‎ ‎（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长 ‎（1）过点O作ON⊥AB于点M ‎∵正方形OECF ‎∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F ‎∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E ‎∴OM＝OE＝OF ‎∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E ‎∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°‎ ‎∵‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AFO ‎∴∠MA0＝∠FAO ‎∴点O在∠BAC的平分线上 ‎（2）方法一：‎ ‎∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12‎ ‎∴AB＝13‎ 易证：BE＝BM，AM＝AF 又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE 故：BE＝12－OE，AF＝5－OE 显然：BM＋AM＝AB 11‎ ‎　即：BE＋AF＝13‎ ‎12－OE＋5－OE＝13‎ 解得OE＝2‎ 方法二 利用面积法：‎ S△ABC＝‎ S△ABC＝‎ 从而解得。‎ ‎23、（本题满分8分）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，‎ ‎（1）当点P，运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长。‎ ‎（2）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为?（　直接写出答案）‎ ‎（3）当使△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长。‎ ‎【试题分析】‎ ‎（1）本小问是利用切线的性质，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半径的长度：OD＝OC＝OB 从而利用解直角三角形的方法来解得AP的长度。‎ 解：∵AB是圆O的切线 ‎∴∠OBA＝90°‎ ‎∵ABC中，CD＝2，∠DAB=30°‎ ‎∴OB＝1‎ ‎∴OB＝OC＝AC＝1‎ ‎∵当点P，运动到Q、C两点重合时 ‎∴PC为圆O的切线 ‎∴∠PCA＝90°‎ ‎∵∠DAB=30°，AC＝1‎ ‎∴AP＝‎ ‎（2）利用三角形的面积公式，知底和积可求高，然后用平行线去截圆，即可以得到解。‎ 11‎ 由于CD的长度2，而S△CQD＝，故CD上的高的长度为：，从而如图，我们可得到答案：‎ ‎（3）利用S△CQD＝，求出CD上的高QN的长度，过点PM⊥AD于点M，‎ 然后利用相似△QCN∽△DQN求出CN的长度，再次利用相似△PMC∽△QNC，从而得到MC与MP的关系，由已知易知AM＝，由AC＝1，从而可以解出MP，从而求出AP的长度。‎ 11‎ 解答如下：‎ 过点Q作QN⊥AD于点N，‎ 过点P作PM⊥AD于点M ‎∵S△CQD＝‎ ‎∴QN×CD＝‎ ‎∴CD＝ ‎ ‎∵CD是圆O的直径 ‎∴∠CQD＝90°‎ 易证△QCN∽△DQN ‎∴‎ ‎∴‎ 设CN＝X，则DN＝2－X ‎∴‎ 解得：‎ ‎∵CQ＞QD ‎∴CN＝‎ ‎∴‎ 易证：△PMC∽△QNC 易得：‎ ‎∴‎ 在AMP中易得：‎ ‎∵AM＋CM＝AC＝1‎ ‎∴＋＝1‎ ‎∴MP＝‎ ‎∴AP＝2MP＝‎ 11‎ ‎24、（本题满分10分）已知抛物线的表达式为 11‎ ‎（1）若抛物线与轴有交点，求的取值范围；‎ ‎（2）设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为、，若，求的值；‎ ‎（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：‎ ‎【试题分析】‎ ‎（1）利用二次函数与一元二次方程的关系，‎ 直接用判别式解答。‎ 11‎ ‎∵与轴有交点 ‎∴有实数根 ‎∴△＝‎ 即：‎ 解之得：‎ ‎（2）根据根与系数的关系，求出 ‎∵有解，且 ‎∴，‎ 即：‎ 解之得：‎ ‎（3）由全等得到P、Q两点的坐标特点，然后利用过度参数，比较两个式子 来描述坐标方程，方程有解。‎ 易知：‎ 设P的坐标为，则Q点坐标为，且，‎ 将这两个点的坐标代入方程得：‎ ‎（1）－（2）得：‎ 故可得：‎ 故可得 代入方程（2）得：‎ 11‎ 因为存在这样的点，所以上方程有解，所以判别式 即 故：‎ 而当时，，此时 故 11‎