闸北区2015届高三数学上学期期末试卷(理科含解析)
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资料简介
‎ ‎ 闸北区2015届高三数学上学期期末试卷(理科含解析)‎ ‎ ‎ 一、填空题(54分)本大题共有9题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得6分,否则一律得零分.‎ ‎1.复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为 4 .‎ 考点: 复数代数形式的乘除运算.‎ 专题: 数系的扩充和复数.‎ 分析: 化简复数为a+bi(a,b∈R),然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值.‎ 解答: 解:=.‎ ‎∵复数是纯虚数 ‎∴,解得:a=4.‎ 故答案为:4.‎ 点评: 本题考查了复数的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.若f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),则f(0)+f(2)= ﹣2 .‎ 考点: 函数奇偶性的性质.‎ 专题: 计算题;函数的性质及应用.‎ 分析: 运用奇函数的定义,已知解析式,可得f(0)=0,f(2)=﹣2,即可得到结论.‎ 解答: 解:f(x)为R上的奇函数,‎ 则f(﹣x)=﹣f(x),‎ 即有f(0)=0,f(﹣2)=﹣f(2),‎ 当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),‎ f(﹣2)=log2(2+2)=2,‎ 则f(0)+f(2)=0﹣2=﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.设定点A(0,1),若动点P在函数y=(x>0)图象上,则|PA|的最小值为 2 .‎ 考点: 两点间距离公式的应用;函数的图象.‎ 专题: 直线与圆.‎ 分析: 设P(x,1+),|PA|=≥=2.由此能求出|PA|的最小值.‎ 解答: 解:设P(x,1+),‎ ‎ ‎ ‎∴|PA|=≥=2.‎ 当且仅当,即x=时,取“=”号,‎ ‎∴|PA|的最小值为2.‎ 故答案为:2.‎ 点评: 本题考查线段长的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎4.用数字“1,‎2”‎组成一个四位数,则数字“1,‎2”‎都出现的四位数有 14 个.‎ 考点: 计数原理的应用.‎ 专题: 排列组合.‎ 分析: 本题需要分三类第一类,3个1,1个2,第二类,3个2,1个1,第三类,2个1,2个2,根据分类计数原理可得,或者利用列举法.‎ 解答: 解:方法一:1,‎2”‎组成一个四位数,数字“1,‎2”‎都出现的共3类,‎ 第一类,3个1,1个2,有3个1的排列顺序只有1种,把2插入到3个1所形成的4个间隔中,故有=4种,‎ 第二类,3个2,1个1,有3个2的排列顺序只有1种,把1插入到3个2所形成的4个间隔中,故有=4种,‎ 第三类,2个1,2个2,先排2个1只有一种,再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中,再把另一个2插入所形成的四个间隔中,2个2一样,故=6,‎ 根据分类计数原理,数字“1,‎2”‎都出现的四位数有4+4+6=14个 方法二,列举即可,1112,1121,1211,2111,1122,1212,1221,2121,2112,2211,2221,2212,2122,1222,共14种 故答案为14‎ 点评: 本题主要考查了分类计数原理,如何分类是关键,属于基础题 ‎ ‎ ‎5.设n∈N*,圆的面积为Sn,则= 4π .‎ 考点: 极限及其运算;圆的标准方程.‎ 专题: 函数的性质及应用.‎ 分析: 利用圆的面积计算公式可得Sn=.再利用数列极限运算性质即可得出.‎ 解答: 解:∵圆的面积为Sn,‎ ‎∴Sn=.‎ ‎ ‎ ‎∴==4π.‎ 故答案为:4π.‎ 点评: 本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.在Rt△ABC中,AB=AC=3,M,N是斜边BC上的两个三等分点,则的值为 4 .‎ 考点: 平面向量数量积的运算.‎ 专题: 计算题;平面向量及应用.‎ 分析: 运用向量垂直的条件,可得=0,由M,N是斜边BC上的两个三等分点,得=(+)•(+),再由向量的数量积的性质,即可得到所求值.‎ 解答: 解:在Rt△ABC中,BC为斜边,‎ 则=0,‎ 则=()•(+)‎ ‎=(+)•(+)=(+)•()‎ ‎=++=×9+=4.‎ 故答案为:4.‎ 点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.设函数f(x)=sin(πx),若存在x0∈(﹣1,1)同时满足以下条件:‎ ‎①对任意的x∈R,都有f(x)≤f(x0)成立;‎ ‎②x02+[f(x0)]2<m2,‎ 则m的取值范围是  .‎ 考点: 正弦函数的图象.‎ 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.‎ 分析: 直接利用题中的已知条件建立关系式先求出,对f(x)≤f(x0)成立,只需满f(x)≤f(x0)min即可.由于f(x)=sin(πx),所以:先求出f(x)的最小值,进一步求出:当x0最小,f(x0)最小时,函数x02+[f(x0)]2<m2,解得:,最后求出结果.‎ 解答: 解:根据题意:①对任意的x∈R,都有f(x)≤f(x0)成立 ‎ ‎ 由于:x0∈(﹣1,1)‎ 所以:对f(x)≤f(x0)成立,只需满足f(x)≤f(x0)min即可.‎ 由于f(x)=sin(πx),‎ 所以:‎ 由于②x02+[f(x0)]2<m 所以当x0最小,且 求出:‎ 进一步求出:‎ 故答案为:‎ 点评: 本题考查的知识要点:三角函数的值域,函数的恒成立问题和存在性问题,属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎8.如果不等式x2<|x﹣1|+a的解集是区间(﹣3,3)的子集,则实数a的取值范围是 (﹣∞,5] .‎ 考点: 一元二次不等式的解法.‎ 专题: 不等式的解法及应用.‎ 分析: 将不等式转化为函数,利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论.‎ 解答: 解:不等式x2<|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a<0,‎ 设f(x)=x2﹣|x﹣1|﹣a,‎ 若不等式x2<|x﹣1|+a的解集是区间(﹣3,3)的子集,‎ 则,即,则,‎ 解得a≤5,‎ 故答案为:(﹣∞,5]‎ 点评: 本题主要考查不等式的应用,利用不等式和函数之间的关系,转化为函数是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(6分)关于曲线C:x4﹣y3=1,给出下列四个结论:‎ ‎①曲线C是双曲线; ‎ ‎②关于y轴对称;‎ ‎③关于坐标原点中心对称; ‎ ‎④与x轴所围成封闭图形面积小于2.‎ 则其中正确结论的序号是 ② .(注:把你认为正确结论的序号都填上)‎ 考点: 曲线与方程.‎ 分析: 根据题意,依次分析4个命题:对于①:将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较,可得①错误;对于②:分析关于y轴对称的两个点(x,y)点(﹣x,y),是否都在曲线上,即可得②正确;对于③:分析关于原点对称的两个点(x,y)点(﹣x,﹣y),是否都在曲线上,即可得③错误,对于④:将曲线方程变形为y=,分析其与x轴所围成的面积,即可得答案.‎ 解答: 解:根据题意,依次分析4个命题:‎ ‎ ‎ 对于①:曲线C:x4﹣y3=1,不符合双曲线的标准方程,故不是双曲线;①错误;‎ 对于②:若点(x,y)在曲线上,则有x4﹣y3=1,那么对于与点(x,y)关于y轴对称的点(﹣x,y),也有(﹣x)4﹣y3=1成立,则点(﹣x,y)也在曲线上,故曲线关于y轴对称,②正确;‎ 对于③:若点(x,y)在曲线上,则有x4﹣y3=1,那么对于与点(x,y)关于原点对称的点(﹣x,﹣y),(﹣x)4﹣(﹣y)3=1不成立,则点(﹣x,﹣y)不在曲线上,故曲线不关于原点对称,③错误;‎ 对于④:曲线C:x4﹣y3=1,变形可得y=,分析可得其是开放性曲线,与x轴所围成的面积无最大值,故④错误;‎ 故答案为②.‎ 点评: 本题考查曲线与方程,解题的关键是根据曲线的方程,分析曲线的几何形状与具有的几何性质.‎ ‎ ‎ 二、选择题(18分)本大题共有3题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得6分,否则一律得零分.‎ ‎10.(6分)“a≠‎2”‎是“关于x,y的二元一次方程组有唯一解”的(  )‎ ‎  A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎  C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ 专题: 简易逻辑.‎ 分析: 由方程组得y=,得到a≠2且a≠﹣1,从而求出a的范围.‎ 解答: 解:由有唯一解得:‎ y=,‎ ‎∴a≠2且a≠﹣1,‎ ‎∴a≠‎2”‎是“关于x,y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件,‎ 故选:A.‎ 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了二元一次方程组的解法,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.已知等比数列{an}前n项和为Sn,则下列一定成立的是(  )‎ ‎  A.若a3>0,则a2013<0 B. 若a4>0,则a2014<0‎ ‎  C.若a3>0,则S2013>0 D. 若a4>0,则S2014>0‎ 考点: 等比数列的性质.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: 对于选项A,B,D可通过q=﹣1的等比数列排除,对于选项C,可分公比q>0,q<0来证明即可得答案.‎ ‎ ‎ 解答: 解:对于选项A,可列举公比q=﹣1的等比数列1,﹣1,1,﹣1,…,显然满足a3>0,但a2013=1>0,故错误;‎ 对于选项B,可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足a4>0,但a2014=0,故错误;‎ 对于选项D,可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足a2>0,但S2014=0,故错误;‎ 对于选项C,因为a3=a1•q2>0,所以 a1>0.‎ 当公比q>0时,任意an>0,故有S2013>0;当公比q<0时,q2013<0,故1﹣q>0,1﹣q2013>0,仍然有S2013 =>0,故C正确,‎ 故选C.‎ 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.对于集合A,定义了一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素e∈A,使得对任意a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a,则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素.例如:A=R,运算“⊕”为普通乘法;存在1∈R,使得对任意a∈R,都有1×a=a×1=a,所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.‎ 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”:‎ ‎①A=R,运算“⊕”为普通减法;‎ ‎②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵,m∈N*,n∈N*},运算“⊕”为矩阵加法;‎ ‎③A={X|X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为求两个集合的交集.‎ 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为(  )‎ ‎  A.①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③‎ 考点: 进行简单的合情推理.‎ 专题: 计算题;推理和证明.‎ 分析: 根据单位元素的定义,对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可.‎ 解答: 解:①若A=R,运算“⊕”为普通减法,而普通减法不满足交换律,故没有单位元素;‎ ‎②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵,m∈N*,n∈N*},运算“⊕”为矩阵加法,‎ 其单位元素为全为0的矩阵;‎ ‎③A={X|X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为求两个集合的交集,‎ 其单位元素为集合M.‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题满分78分)本大题共有4题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.‎ ‎13.(18分)请仔细阅读以下材料:‎ 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数.‎ 求证:命题“设a,b∈R+,若ab>1,则”是真命题.‎ 证明 因为a,b∈R+,由ab>1得a>>0.‎ ‎ ‎ 又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,‎ 于是有. ①‎ 同理有. ②‎ 由①+②得.‎ 故,命题“设a,b∈R+,若ab>1,则”是真命题.‎ 请针对以上阅读材料中的f(x),解答以下问题:‎ ‎(1)试用命题的等价性证明:“设a,b∈R+,若,则:ab>‎1”‎是真命题;‎ ‎(2)解关于x的不等式f(ax﹣1)+f(2x)>f(a1﹣x)+f(2﹣x)(其中a>0).‎ 考点: 抽象函数及其应用;四种命题;其他不等式的解法.‎ 专题: 函数的性质及应用.‎ 分析: (1)先写出原命题的逆否命题:设a,b∈R+,若ab≤1,则:,由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题,证明原命题的逆否命题为真命题;‎ ‎(2)利用(1)的结论有:ax﹣1•2x>1,即:(‎2a)x>a,再分①当‎2a>1时、②当0<‎2a<1时、③当‎2a=1时三种情况,写出不等式的解集.‎ 解答: 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.‎ 原命题的逆否命题:设a,b∈R+,若ab≤1,则:,‎ 下面证明原命题的逆否命题为真命题:‎ 因为a,b∈R+,由ab≤1,得:,‎ 又f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数 所以…(1)‎ 同理有:…(2)‎ 由(1)+(2)得:‎ 所以原命题的逆否命题为真命题 所以原命题为真命题.‎ ‎(2)由(1)的结论有:ax﹣1•2x>1,即:(‎2a)x>a ‎①当‎2a>1时,即时,不等式的解集为:(log2aa,+∞)‎ ‎ ‎ ‎②当0<‎2a<1时,即时,不等式的解集为:(﹣∞,log2aa)‎ ‎③当‎2a=1时,即时,不等式的解集为:R.‎ 点评: 本题主要考查抽象函数的综合应用,并同时考查证明真命题的方法,其中,原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(20分)如图,在海岸线EF一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC,该曲线段是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ∈(0,π)),x∈[﹣4,0]的图象,图象的最高点为B(﹣1,2).边界的中间部分为长‎1千米的直线段CD,且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.‎ ‎(1)求曲线段FGBC的函数表达式;‎ ‎(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为‎1千米,现准备从入口G修一条笔直的景观路到O,求景观路GO长;‎ ‎(3)如图,在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ,平行四边形的一边在海岸线EF上,一边在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,且∠POE=θ,求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值.‎ 考点: 在实际问题中建立三角函数模型.‎ 专题: 计算题;应用题;作图题;函数的性质及应用.‎ 分析: (1)由题意可得A=2,T=12,代入点求ϕ,从而求解析式;‎ ‎(2)令求解x,从而求景观路GO的长;‎ ‎(3)作图求平行四边形的面积SOMPQ=OM•PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);从而求最值.‎ 解答: 解:(1)由已知条件,得A=2,‎ 又∵,‎ 又∵当x=﹣1时,‎ 有,‎ ‎∴曲线段FBC的解析式为.‎ ‎ ‎ ‎(2)由得,‎ x=6k+(﹣1)k﹣4(k∈Z),‎ 又∵x∈[﹣4,0],‎ ‎∴k=0,x=﹣3,‎ ‎∴G(﹣3,1),;‎ ‎∴景观路GO长为千米.‎ ‎(3)如图,‎ ‎,‎ 作PP1⊥x轴于P1点,在Rt△OPP1中,‎ PP1=OPsinθ=2sinθ,‎ 在△OMP中,‎ ‎=,‎ ‎∴OM==2cosθ﹣sinθ,‎ SOMPQ=OM•PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ ‎=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);‎ 当2θ+=时,即θ=时,‎ 平行四边形面积有最大值为(平方千米).‎ 点评: 本题考查了三角函数在实际问题中的应用,同时考查了学生的作图能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(20分)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C方程;‎ ‎(2)斜率为k的直线l过右焦点F2,且与椭圆交于A,B两点,求弦AB的长;‎ ‎(3)P为直线x=3上的一点,在第(2)题的条件下,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.‎ 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎ ‎ 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ 分析: (1)由题意得c=2,,由此能求出椭圆方程.‎ ‎(2)直线l的方程为y=k(x﹣2).联立方程组,得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|.‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0,y0).由中点坐标公式得,.直线MP的斜率为,又xP=3,由此利用弦长公式能求出k=±1,从而求出直线l的方程.‎ 解答: 解:(1)由题意得F1(﹣2,0),‎ c=2…(2分)‎ 又,‎ 得a4﹣‎8a2+12=0,解得a2=6或a2=2(舍去),…(2分)‎ 则b2=2,…(1分)‎ 故椭圆方程为.…(1分)‎ ‎(2)直线l的方程为y=k(x﹣2).…(1分)‎ 联立方程组,消去y并整理得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0.…(3分)‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 故,.…(1分)‎ 则|AB|=|x1﹣x2|==.…(2分)‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0,y0).‎ ‎∵=2x0,∴,…(1分)‎ ‎∵y0=k(x0﹣2),∴.…(1分)‎ 直线MP的斜率为,又 xP=3,‎ ‎ ‎ 所以.…(2分)‎ 当△ABP为正三角形时,|MP|=,‎ 可得,…(1分)‎ 解得k=±1.…(1分)‎ 即直线l的方程为x﹣y﹣2=0,或x+y﹣2=0.…(1分)‎ 点评: 本题考查椭圆C方程的求法,考查弦AB的长的求法,考查直线l的方程的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎16.(20分)设数列{an}满足:①a1=1;②所有项an∈N*;③1=a1<a2<…<an<an+1<…设集合Am={n|an≤m,m∈N*},将集合Am中的元素的最大值记为bm.换句话说,bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.‎ ‎(1)若数列{an}的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列{an};‎ ‎(2)设an=3n﹣1,求数列{an}的伴随数列{bn}的前100之和;‎ ‎(3)若数列{an}的前n项和Sn=n+c(其中c常数),试求数列{an}的伴随数列{bn}前m项和Tm.‎ 考点: 数列的求和;数列的应用.‎ 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.‎ 分析: (1)根据伴随数列的定义求出数列{an};‎ ‎(2)根据伴随数列的定义得:,由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{bn}的前100项以及它们的和;‎ ‎(3)由题意和an与Sn的关系式求出an,代入an≤m得,并求出伴随数列{bm}的各项,再对m分类讨论,分别求出伴随数列{bm}的前m项和Tm.‎ 解答: 解:(1)1,4,7. …(6分)‎ ‎(2)由,得 ‎∴当1≤m≤2,m∈N*时,b1=b2=1…(1分)‎ 当3≤m≤8,m∈N*时,b3=b4=…=b8=2…(1分)‎ 当9≤m≤26,m∈N*时,b9=b10=…=b26=3…(1分)‎ 当27≤m≤80,m∈N*时,b27=b28=…=b80=4…(1分)‎ 当81≤m≤100,m∈N*时,b81=b82=…=b100=5…(1分)‎ ‎∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…(1分)‎ ‎(3)∵a1=S1=1+c=1∴c=0…(1分)‎ 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2‎ ‎ ‎ ‎∴…(2分)‎ 由an=3n﹣2≤m得:‎ 因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,‎ 所以 …(1分)‎ 当m=3t﹣2(t∈N*)时:…(1分)‎ 当m=3t﹣1(t∈N*)时:…(1分)‎ 当m=3t(t∈N*)时:…(1分)‎ 所以(其中t∈N*)…(1分)‎ 点评: 本题考查数列的应用,着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力,观察、分析寻找规律是难点,是难题.‎

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