闸北区2015届高三数学上学期期末试卷(理科含解析)
一、填空题(54分)本大题共有9题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得6分,否则一律得零分.
1.复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为 4 .
考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 化简复数为a+bi(a,b∈R),然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值.
解答: 解:=.
∵复数是纯虚数
∴,解得:a=4.
故答案为:4.
点评: 本题考查了复数的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
2.若f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),则f(0)+f(2)= ﹣2 .
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 运用奇函数的定义,已知解析式,可得f(0)=0,f(2)=﹣2,即可得到结论.
解答: 解:f(x)为R上的奇函数,
则f(﹣x)=﹣f(x),
即有f(0)=0,f(﹣2)=﹣f(2),
当x<0时,f(x)=log2(2﹣x),
f(﹣2)=log2(2+2)=2,
则f(0)+f(2)=0﹣2=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题.
3.设定点A(0,1),若动点P在函数y=(x>0)图象上,则|PA|的最小值为 2 .
考点: 两点间距离公式的应用;函数的图象.
专题: 直线与圆.
分析: 设P(x,1+),|PA|=≥=2.由此能求出|PA|的最小值.
解答: 解:设P(x,1+),
∴|PA|=≥=2.
当且仅当,即x=时,取“=”号,
∴|PA|的最小值为2.
故答案为:2.
点评: 本题考查线段长的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用.
4.用数字“1,2”组成一个四位数,则数字“1,2”都出现的四位数有 14 个.
考点: 计数原理的应用.
专题: 排列组合.
分析: 本题需要分三类第一类,3个1,1个2,第二类,3个2,1个1,第三类,2个1,2个2,根据分类计数原理可得,或者利用列举法.
解答: 解:方法一:1,2”组成一个四位数,数字“1,2”都出现的共3类,
第一类,3个1,1个2,有3个1的排列顺序只有1种,把2插入到3个1所形成的4个间隔中,故有=4种,
第二类,3个2,1个1,有3个2的排列顺序只有1种,把1插入到3个2所形成的4个间隔中,故有=4种,
第三类,2个1,2个2,先排2个1只有一种,再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中,再把另一个2插入所形成的四个间隔中,2个2一样,故=6,
根据分类计数原理,数字“1,2”都出现的四位数有4+4+6=14个
方法二,列举即可,1112,1121,1211,2111,1122,1212,1221,2121,2112,2211,2221,2212,2122,1222,共14种
故答案为14
点评: 本题主要考查了分类计数原理,如何分类是关键,属于基础题
5.设n∈N*,圆的面积为Sn,则= 4π .
考点: 极限及其运算;圆的标准方程.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用圆的面积计算公式可得Sn=.再利用数列极限运算性质即可得出.
解答: 解:∵圆的面积为Sn,
∴Sn=.
∴==4π.
故答案为:4π.
点评: 本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质,考查了计算能力,属于基础题.
6.在Rt△ABC中,AB=AC=3,M,N是斜边BC上的两个三等分点,则的值为 4 .
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: 运用向量垂直的条件,可得=0,由M,N是斜边BC上的两个三等分点,得=(+)•(+),再由向量的数量积的性质,即可得到所求值.
解答: 解:在Rt△ABC中,BC为斜边,
则=0,
则=()•(+)
=(+)•(+)=(+)•()
=++=×9+=4.
故答案为:4.
点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查运算能力,属于中档题.
7.设函数f(x)=sin(πx),若存在x0∈(﹣1,1)同时满足以下条件:
①对任意的x∈R,都有f(x)≤f(x0)成立;
②x02+[f(x0)]2<m2,
则m的取值范围是 .
考点: 正弦函数的图象.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: 直接利用题中的已知条件建立关系式先求出,对f(x)≤f(x0)成立,只需满f(x)≤f(x0)min即可.由于f(x)=sin(πx),所以:先求出f(x)的最小值,进一步求出:当x0最小,f(x0)最小时,函数x02+[f(x0)]2<m2,解得:,最后求出结果.
解答: 解:根据题意:①对任意的x∈R,都有f(x)≤f(x0)成立
由于:x0∈(﹣1,1)
所以:对f(x)≤f(x0)成立,只需满足f(x)≤f(x0)min即可.
由于f(x)=sin(πx),
所以:
由于②x02+[f(x0)]2<m
所以当x0最小,且
求出:
进一步求出:
故答案为:
点评: 本题考查的知识要点:三角函数的值域,函数的恒成立问题和存在性问题,属于基础题型.
8.如果不等式x2<|x﹣1|+a的解集是区间(﹣3,3)的子集,则实数a的取值范围是 (﹣∞,5] .
考点: 一元二次不等式的解法.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 将不等式转化为函数,利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论.
解答: 解:不等式x2<|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a<0,
设f(x)=x2﹣|x﹣1|﹣a,
若不等式x2<|x﹣1|+a的解集是区间(﹣3,3)的子集,
则,即,则,
解得a≤5,
故答案为:(﹣∞,5]
点评: 本题主要考查不等式的应用,利用不等式和函数之间的关系,转化为函数是解决本题的关键.
9.(6分)关于曲线C:x4﹣y3=1,给出下列四个结论:
①曲线C是双曲线;
②关于y轴对称;
③关于坐标原点中心对称;
④与x轴所围成封闭图形面积小于2.
则其中正确结论的序号是 ② .(注:把你认为正确结论的序号都填上)
考点: 曲线与方程.
分析: 根据题意,依次分析4个命题:对于①:将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较,可得①错误;对于②:分析关于y轴对称的两个点(x,y)点(﹣x,y),是否都在曲线上,即可得②正确;对于③:分析关于原点对称的两个点(x,y)点(﹣x,﹣y),是否都在曲线上,即可得③错误,对于④:将曲线方程变形为y=,分析其与x轴所围成的面积,即可得答案.
解答: 解:根据题意,依次分析4个命题:
对于①:曲线C:x4﹣y3=1,不符合双曲线的标准方程,故不是双曲线;①错误;
对于②:若点(x,y)在曲线上,则有x4﹣y3=1,那么对于与点(x,y)关于y轴对称的点(﹣x,y),也有(﹣x)4﹣y3=1成立,则点(﹣x,y)也在曲线上,故曲线关于y轴对称,②正确;
对于③:若点(x,y)在曲线上,则有x4﹣y3=1,那么对于与点(x,y)关于原点对称的点(﹣x,﹣y),(﹣x)4﹣(﹣y)3=1不成立,则点(﹣x,﹣y)不在曲线上,故曲线不关于原点对称,③错误;
对于④:曲线C:x4﹣y3=1,变形可得y=,分析可得其是开放性曲线,与x轴所围成的面积无最大值,故④错误;
故答案为②.
点评: 本题考查曲线与方程,解题的关键是根据曲线的方程,分析曲线的几何形状与具有的几何性质.
二、选择题(18分)本大题共有3题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得6分,否则一律得零分.
10.(6分)“a≠2”是“关于x,y的二元一次方程组有唯一解”的( )
A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 由方程组得y=,得到a≠2且a≠﹣1,从而求出a的范围.
解答: 解:由有唯一解得:
y=,
∴a≠2且a≠﹣1,
∴a≠2”是“关于x,y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件,
故选:A.
点评: 本题考查了充分必要条件,考查了二元一次方程组的解法,是一道基础题.
11.已知等比数列{an}前n项和为Sn,则下列一定成立的是( )
A.若a3>0,则a2013<0 B. 若a4>0,则a2014<0
C.若a3>0,则S2013>0 D. 若a4>0,则S2014>0
考点: 等比数列的性质.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 对于选项A,B,D可通过q=﹣1的等比数列排除,对于选项C,可分公比q>0,q<0来证明即可得答案.
解答: 解:对于选项A,可列举公比q=﹣1的等比数列1,﹣1,1,﹣1,…,显然满足a3>0,但a2013=1>0,故错误;
对于选项B,可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足a4>0,但a2014=0,故错误;
对于选项D,可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足a2>0,但S2014=0,故错误;
对于选项C,因为a3=a1•q2>0,所以 a1>0.
当公比q>0时,任意an>0,故有S2013>0;当公比q<0时,q2013<0,故1﹣q>0,1﹣q2013>0,仍然有S2013 =>0,故C正确,
故选C.
点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题.
12.对于集合A,定义了一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素e∈A,使得对任意a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a,则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素.例如:A=R,运算“⊕”为普通乘法;存在1∈R,使得对任意a∈R,都有1×a=a×1=a,所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.
下面给出三个集合及相应的运算“⊕”:
①A=R,运算“⊕”为普通减法;
②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵,m∈N*,n∈N*},运算“⊕”为矩阵加法;
③A={X|X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为求两个集合的交集.
其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为( )
A.①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③
考点: 进行简单的合情推理.
专题: 计算题;推理和证明.
分析: 根据单位元素的定义,对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可.
解答: 解:①若A=R,运算“⊕”为普通减法,而普通减法不满足交换律,故没有单位元素;
②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵,m∈N*,n∈N*},运算“⊕”为矩阵加法,
其单位元素为全为0的矩阵;
③A={X|X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算“⊕”为求两个集合的交集,
其单位元素为集合M.
故选D.
点评: 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于基础题.
三、解答题(本题满分78分)本大题共有4题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
13.(18分)请仔细阅读以下材料:
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数.
求证:命题“设a,b∈R+,若ab>1,则”是真命题.
证明 因为a,b∈R+,由ab>1得a>>0.
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,
于是有. ①
同理有. ②
由①+②得.
故,命题“设a,b∈R+,若ab>1,则”是真命题.
请针对以上阅读材料中的f(x),解答以下问题:
(1)试用命题的等价性证明:“设a,b∈R+,若,则:ab>1”是真命题;
(2)解关于x的不等式f(ax﹣1)+f(2x)>f(a1﹣x)+f(2﹣x)(其中a>0).
考点: 抽象函数及其应用;四种命题;其他不等式的解法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)先写出原命题的逆否命题:设a,b∈R+,若ab≤1,则:,由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题,证明原命题的逆否命题为真命题;
(2)利用(1)的结论有:ax﹣1•2x>1,即:(2a)x>a,再分①当2a>1时、②当0<2a<1时、③当2a=1时三种情况,写出不等式的解集.
解答: 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题:设a,b∈R+,若ab≤1,则:,
下面证明原命题的逆否命题为真命题:
因为a,b∈R+,由ab≤1,得:,
又f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数
所以…(1)
同理有:…(2)
由(1)+(2)得:
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题.
(2)由(1)的结论有:ax﹣1•2x>1,即:(2a)x>a
①当2a>1时,即时,不等式的解集为:(log2aa,+∞)
②当0<2a<1时,即时,不等式的解集为:(﹣∞,log2aa)
③当2a=1时,即时,不等式的解集为:R.
点评: 本题主要考查抽象函数的综合应用,并同时考查证明真命题的方法,其中,原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键.
14.(20分)如图,在海岸线EF一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC,该曲线段是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ∈(0,π)),x∈[﹣4,0]的图象,图象的最高点为B(﹣1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD,且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FGBC的函数表达式;
(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米,现准备从入口G修一条笔直的景观路到O,求景观路GO长;
(3)如图,在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ,平行四边形的一边在海岸线EF上,一边在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,且∠POE=θ,求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值.
考点: 在实际问题中建立三角函数模型.
专题: 计算题;应用题;作图题;函数的性质及应用.
分析: (1)由题意可得A=2,T=12,代入点求ϕ,从而求解析式;
(2)令求解x,从而求景观路GO的长;
(3)作图求平行四边形的面积SOMPQ=OM•PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);从而求最值.
解答: 解:(1)由已知条件,得A=2,
又∵,
又∵当x=﹣1时,
有,
∴曲线段FBC的解析式为.
(2)由得,
x=6k+(﹣1)k﹣4(k∈Z),
又∵x∈[﹣4,0],
∴k=0,x=﹣3,
∴G(﹣3,1),;
∴景观路GO长为千米.
(3)如图,
,
作PP1⊥x轴于P1点,在Rt△OPP1中,
PP1=OPsinθ=2sinθ,
在△OMP中,
=,
∴OM==2cosθ﹣sinθ,
SOMPQ=OM•PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ
=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);
当2θ+=时,即θ=时,
平行四边形面积有最大值为(平方千米).
点评: 本题考查了三角函数在实际问题中的应用,同时考查了学生的作图能力,属于中档题.
15.(20分)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点.
(1)求椭圆C方程;
(2)斜率为k的直线l过右焦点F2,且与椭圆交于A,B两点,求弦AB的长;
(3)P为直线x=3上的一点,在第(2)题的条件下,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (1)由题意得c=2,,由此能求出椭圆方程.
(2)直线l的方程为y=k(x﹣2).联立方程组,得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|.
(3)设AB的中点为M(x0,y0).由中点坐标公式得,.直线MP的斜率为,又xP=3,由此利用弦长公式能求出k=±1,从而求出直线l的方程.
解答: 解:(1)由题意得F1(﹣2,0),
c=2…(2分)
又,
得a4﹣8a2+12=0,解得a2=6或a2=2(舍去),…(2分)
则b2=2,…(1分)
故椭圆方程为.…(1分)
(2)直线l的方程为y=k(x﹣2).…(1分)
联立方程组,消去y并整理得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0.…(3分)
设A(x1,y1),B(x2,y2).
故,.…(1分)
则|AB|=|x1﹣x2|==.…(2分)
(3)设AB的中点为M(x0,y0).
∵=2x0,∴,…(1分)
∵y0=k(x0﹣2),∴.…(1分)
直线MP的斜率为,又 xP=3,
所以.…(2分)
当△ABP为正三角形时,|MP|=,
可得,…(1分)
解得k=±1.…(1分)
即直线l的方程为x﹣y﹣2=0,或x+y﹣2=0.…(1分)
点评: 本题考查椭圆C方程的求法,考查弦AB的长的求法,考查直线l的方程的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
16.(20分)设数列{an}满足:①a1=1;②所有项an∈N*;③1=a1<a2<…<an<an+1<…设集合Am={n|an≤m,m∈N*},将集合Am中的元素的最大值记为bm.换句话说,bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.
(1)若数列{an}的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列{an};
(2)设an=3n﹣1,求数列{an}的伴随数列{bn}的前100之和;
(3)若数列{an}的前n项和Sn=n+c(其中c常数),试求数列{an}的伴随数列{bn}前m项和Tm.
考点: 数列的求和;数列的应用.
专题: 点列、递归数列与数学归纳法.
分析: (1)根据伴随数列的定义求出数列{an};
(2)根据伴随数列的定义得:,由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{bn}的前100项以及它们的和;
(3)由题意和an与Sn的关系式求出an,代入an≤m得,并求出伴随数列{bm}的各项,再对m分类讨论,分别求出伴随数列{bm}的前m项和Tm.
解答: 解:(1)1,4,7. …(6分)
(2)由,得
∴当1≤m≤2,m∈N*时,b1=b2=1…(1分)
当3≤m≤8,m∈N*时,b3=b4=…=b8=2…(1分)
当9≤m≤26,m∈N*时,b9=b10=…=b26=3…(1分)
当27≤m≤80,m∈N*时,b27=b28=…=b80=4…(1分)
当81≤m≤100,m∈N*时,b81=b82=…=b100=5…(1分)
∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…(1分)
(3)∵a1=S1=1+c=1∴c=0…(1分)
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2
∴…(2分)
由an=3n﹣2≤m得:
因为使得an≤m成立的n的最大值为bm,
所以 …(1分)
当m=3t﹣2(t∈N*)时:…(1分)
当m=3t﹣1(t∈N*)时:…(1分)
当m=3t(t∈N*)时:…(1分)
所以(其中t∈N*)…(1分)
点评: 本题考查数列的应用,着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力,观察、分析寻找规律是难点,是难题.