江西省师大附中、临川一中2014届高三上联考数学试题(文).doc

江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考 数学试卷（文）‎ ‎ 命题人：朱红霞 审题人：邱帆 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设集合,，则等于 A． B． C． D．‎ ‎3. 已知，则 A． B． C． D．‎ ‎4. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 A．0 B． C． D．4‎ ‎5．设是等差数列的前项和，若，则＝‎ A．1 B．－1 C．2 D．‎ ‎6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 A． B． C． D．‎ 9‎ ‎9. 设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是 ‎ A． B． C． D．2‎ A O B M C P N x 第10题图 ‎10. 如图，半径为1的圆切直线于点，射线从 出发绕着点顺时针方向旋转到，旋转过程中交 ‎⊙于点，记为，弓形的面积，‎ x y O x y O x y O x y O A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 那么的大致图象是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡中的横线上.）‎ ‎11. 已知函数，则 .‎ ‎12．运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .‎ ‎ ‎ A B C S N M 第13题 ‎13. 如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2， ‎ ‎ ，M、N分别为SB、SC上的点， ‎ ‎ 则△AMN周长最小值为 .‎ 14. ‎ 已知函数, 若, 则实数的取 ‎ ‎ 值范围 .‎ ‎15. 若实数满足则的最小值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 9‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知数列为等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明….‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.‎ ‎（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；‎ ‎（2）设,求面积的最大值及此时的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：‎ 组别 候车时间 人数 一 ‎ ‎ ‎2‎ 二 ‎6‎ 三 ‎4‎ 四 ‎2‎ 五 ‎1‎ ‎（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，交 9‎ 于点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的 ‎ ‎ 对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数 的图像过坐标原点，且在点 处的切线斜率为.‎ ‎(1) 求实数的值；‎ ‎(2) 求函数在区间上的最小值；‎ ‎(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.‎ 江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考 9‎ ‎ 数学答案（文）‎ 一、1—5 B C D D A 6—10 B B C C A 二、11.10 12.11 13. 14. 15.‎ 三、解答题 ‎16.解析：（1）设等差数列的公差为d，‎ 由得即d=1； …………3分 所以即． …………6分 ‎ （2）证明： 　　　　　　　　　　…………8分 ‎ 所以…… …12分 ‎17.解析:(1)在中，,,由 ‎ ‎ ‎ ··············5分 ‎ （2）平行于 ‎ 在中，由正弦定理得，即 ， ‎ ‎ 又,. ··············8分 9‎ ‎ 记的面积为，则 ‎ ‎ ‎ =， ·············10分 ‎ 当时，取得最大值. ··············12分 ‎18.解:（1）候车时间少于10分钟的概率为， ………………4分 ‎ 所以候车时间少于10分钟的人数为人． ………………………6分 ‎ （2）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包 ‎ ‎ 含以下基本事件：，‎ ‎ ，，， ‎ ‎ ， ………………10分 ‎ 其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为． …………12分 ‎19.证明：（1）∵底面，∴‎ 又∴面 ‎∴······①··········3分 又，且是的中点，∴·········②‎ 由①②得面 ∴‎ 又 ∴面 ‎∴平面平面····················6分 ‎（2）∵是的中点，∴.·······9分 ‎ ······12分 9‎ ‎ 20. ‎ ‎ ·················5分 ‎（2）设直线：与联立并消去得： ‎ ‎ .‎ ‎ 记，，， ‎ ‎ . ························8分 ‎ ‎ 由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），‎ ‎ 得，即.‎ ‎ 所以 ‎ 即定点（1 ， 0）.……………13分 ‎21．解：（1）当时，，‎ ‎ 依题意，‎ ‎ 又 故 ...............3分 9‎ ‎ （2）当时，‎ ‎ 令有，故在单调递减；在单调递增；‎ ‎ 在单调递减．又, ‎ ‎ 所以当时， ……………………6分 ‎（3）设，因为中点在轴上，所以 ‎ 又 ①‎ ‎ （ⅰ）当时，，当时，．故①不成立……7分 ‎ ‎ （ⅱ）当时，代人①得：‎ ‎ ，‎ ‎ 无解 ………8分 ‎ （ⅲ）当时，代人①得：‎ ‎ ②‎ ‎ 设，则是增函数.‎ ‎ 的值域是．………………………………………10分 ‎ 所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．‎ ‎ （ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，‎ ‎ ，代人①得：‎ 9‎ ‎ ③‎ ‎ 设，令，则由上面知 ‎ ‎ 的值域是的值域为.‎ ‎ 所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件。………………12分 ‎ 综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分 ‎ ‎ 9‎