北京市东城区普通校2013高三联考数学理试题及答案.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 北京市东城区普通校2013届高三第二学期联考 ‎ 数学（理科） ‎ 命题校：北京27中学 2013年3月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷(选择题，共40分)‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．已知平面向量, , 且∥, 则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．极坐标方程化为直角坐标方程是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．平面平面的一个充分条件是（　　）‎ ‎（A）存在一条直线 ‎ ‎（B）存在一条直线 ‎（C）存在两条平行直线 ‎（D）存在两条异面直线 ‎4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20，‎ 则判断框中应填入的条件为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎ 第4题图 ‎5. 如图，已知是⊙的一条弦，点为上一点， ，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 交⊙于，若，，则的长是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） 第5题图 ‎6．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )‎ x y O ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ 第6题图新 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎7. 设若的最小值为( )‎ ‎(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) ‎ ‎8.对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的零点恰有两个，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共110分)‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 在的展开式中，含项的系数是________.（用数字作答）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 40 50 60 70 80 90 分数(分)‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎ a ‎ ‎ ‎10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.‎ ‎11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为　　　. 第11题图 ‎12.已知区域，，‎ 向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为 . ‎ A y B O x ‎13．如图，和分别是双曲线 ‎ 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与 ‎ 该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双 曲线的离心率为 . 第13题图 ‎14.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有， ‎ 则称S为封闭集。下列命题：‎ ‎①集合S＝{z|z= a＋bi（为整数，为虚数单位）}为封闭集；‎ ‎②若S为封闭集，则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分． ‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 在中，角的对边分别为，，的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求 ‎(Ⅰ)摸出3个白球的概率；‎ ‎(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；‎ ‎（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。‎ 侧视图 俯视图 正视图 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知几何体A—BCED的三视图如图所示，‎ 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形．‎ ‎（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;‎ ‎（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得 AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)若，求函数在（1，）处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调区间 ‎19.（本小题共14分）‎ 已知椭圆的离心率为 ‎ （I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.‎ ‎（i）当，求b的值；‎ ‎（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 设，，…是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列，，… 由 确定。记 ‎(Ⅰ)当时，求M的值；‎ ‎(Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 高三数学（理科）‎ 参考答案 ‎（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）‎ 一.选择题 ‎1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B 二.填空题 ‎9. 15 10. 72 ‎11. 0.035‎,64.5 12. 13. 14. ①②‎ 三.解答题 ‎15．（本小题满分13分）‎ 在中，角的对边分别为，，的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ 解：（Ⅰ）由已知，，，‎ 因为 ， ‎ 即 ， ‎ 解得 . ‎ 由余弦定理可得:, ‎ 所以 . ………………..7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有, ‎ 由于B是三角形的内角，‎ 易知 , ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ . ………………..13分 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求 ‎(Ⅰ)摸出3个白球的概率；‎ ‎(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；‎ ‎（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人又放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。‎ 解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ………………..3分 ‎ (Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则，又 ‎ ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ………………..6分 ‎ （Ⅲ） X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ………………..13分 侧视图 俯视图 正视图 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 已知几何体A—BCED的三视图如图所示，‎ 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形．‎ ‎（1）求此几何体的体积V的大小;‎ ‎（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；‎ ‎（3）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得 AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.‎ 解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 即该几何体的体积V为．----------------------------------4分 ‎（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．----------------------------------4分 ‎（3） ∵点Q在棱DE上，∴存在使得 同理 ‎,即 ‎∴，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 ----------------------------------14分 ‎18.（本小题满分13分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)若，求函数在（1，）处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调区间 解：（1）当时，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ 切线方程为 …… 4分 ‎(2) 定义域 令，解得，‎ ‎①当，恒成立，则是函数的单调递增区间 ‎②当时，， ‎ 在区间（0,1）和（）上，；在（）区间上，‎ 故的单调递增区间是（0,1）和（），单调递减区间是（）‎ ‎③当时，在区间（0, ）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0, ）和（），单调递减区间是（）‎ ‎④当时，，在区间（0,1）上，在区间（）上，，故的单调递增区间是（），单调递减区间是（0,1）。 ‎ ‎ …… 13分 ‎19.（本小题共14分）‎ 已知椭圆的离心率为 ‎ （I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.‎ ‎ （i）当，求b的值；‎ ‎ （ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解：（I） ‎ ‎ 解得 ‎ 椭圆的方程为 …………………………4分 ‎ （II）（i）∵e椭圆的方程可化为：‎ ‎ ①‎ ‎ 易知右焦点，据题意有AB： ②‎ ‎ 由①，②有： ③‎ ‎ 设，‎ ‎ ………………………8分 ‎ （2）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立.‎ ‎ 设M（x，y），‎ ‎ ‎ ‎ 又点M在椭圆上， ④‎ ‎ 由③有：‎ ‎ 则 ‎ ⑤‎ 又A，B在椭圆上，故有 ⑥‎ 将⑥，⑤代入④可得： ……………………14分 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎20.（本小题13分）‎ 设，，…是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列，，… 由 确定。记 ‎(Ⅰ)当时，求M的值；‎ ‎(Ⅱ)求M的最小值及相应的k的值 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎