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数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合,,则
A. B. C. D.
2．复数在复平面的对应的点位于
(A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3．设，若，则下列不等式中正确的是
(A) (B) (C) (D)
4．函数的图象在点处的切线的倾斜角为[来源:学科网ZXXK]
(A) (B) (C) (D)
5．若某程序框图如图所示，则输出的P的值是
(A)21 (B)26 (C)30 (D)55
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6．已知命题：函数恒过（1,2）点；命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
7．如图，三棱锥底面为正三角形，侧面与底面垂直且,已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为
A. B. C. D.
8．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．若函数是偶函数，则
10．已知，且与垂直，则x
x
的值为__________.
11．抛物线与直线交于两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则的值等于
12．若集合满足,则称为集合的一种拆分.已知:
①当时，有种拆分；
②当时，有种拆分；
③当时，有种拆分；
……
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由以上结论，推测出一般结论：当有_____________种拆分.
13．已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是
14．下面给出的四个命题中：
①以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；
②若，则直线与直线相互垂直；
③命题“，使得”的否定是“，都有”；
④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。
其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上）。
三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知向量，设函数.
（Ⅰ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．
16．（本小题共13分）[来源:Z#xx#k.Com]
某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
(2)据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
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(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。
17．（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；[来源:Zxxk.Com]
（2）求数列的前项和
18．（本小题共14分）
如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.
（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.
19．（本小题共14分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
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（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
20．（本小题共13分）
已知椭圆和直线L:=1, 椭圆的离心率，直线L与坐标原点的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个值，若不存在说明理由。
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参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.C 【解析】，所以,选C.
2.D 【解析】复数，对应点的坐标为为第四象限，选D.
3.B 【解析】由得，若，有，所以，若，则有，所以，综上恒有，选B.
4.B 【解析】函数的导数为，所以在点处的切线斜率，又，所以，选B.
5.C 【解析】第一次运算，，第二次运算，，第三次运算，，满足条件，输出，选C[来源:Zxxk.Com]
6.B 【解析】函数恒过定点，所以命题错误；若函数为偶函数，所以有，关于直线对称，所以命题错误；所以为真，为真，选B.
7.B 【解析】,由题意知，该三棱锥的主视图为，设底面边长为，高，则的面积为。又三棱锥的左视图为直角，在正中，高，所以左视图的面积为，选B.
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8.D 【解析】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9. 【解析】 因为函数为偶函数，所以,所以，,所以.
10.或【解析】因为与垂直，所以，即，所以，整理得，解得或。
11.7 【解析】 因为点A在抛物线上，所以有，所以，抛物线方程为，焦点坐标为，又点A也在直线上，所以有，所以，直线方程为，由，解得或，即点B的坐标为，所以.
12. 【解析】因为当有两个集合时，；当有三个集合时，；当有四个集合时，；由此可以归纳当有个集合时，有种拆分。
13. 【解析】由得，，所以函数为周期为2的周期函数，又因为函数为偶函数，有，所以有，所以函数关于对称，令，得函数，令函数，做出函数和函数的图象，如图：
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当直线必须过点时有4个交点，此时直线的斜率为，要使函数有四个零点，则直线的斜率.
14. ①②③ 【解析】 ①抛物线是焦点为，圆的半径为，所以圆的方程为，正确；②当，两直线方程为和，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移，得到的函数为，所以不正确。所以正确的命题有①②③。
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）解：（Ⅰ）由题意得
………………………………………………………………………3分
令,
解得：，
，，或
所以函数在上的单调递增区间为，…………………6分
（Ⅱ）由得：
化简得：
又因为，解得：…………………………………………………………9分
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由题意知：，解得，
又,所以
故所求边的长为. ……………………………………………………………………13分
（16）解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分
(2)年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）
(3)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人）……8分，
年龄大于50岁的4人……8分，记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4。
从这5人中任取2人，共有10种不同取法…9分，完全正确列举…10分，设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：完全正确列举…11分，故所求概率为……13分
（17）解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得
， ………………………………………………………………3分
解得， ………………………………………………………………5分
所以通项公式，则………………………6分
（2）令，则，
所以，当时，，当时，. ………………………………8分
所以，当时，
当时，
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所以…………………………………12分
（18）解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，
∵F,O分别为BP，PC的中点，
∴∥BC，且,
又ABCD为平行四边形,∥BC，且,
∴∥ED，且
∴四边形EFOD是平行四边形 --------------------------------2分
即EF∥DO 又EF平面PDC
∴EF∥平面PDC． ------------------------------------------- 4分
（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD, --------------------------------- 6分
∵BE平面ABCD，
∴BE⊥DP -------------------------------- 8分
（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，
所以三棱锥与三棱锥体积相等，
即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.[来源:Z|xx|k.Com]
∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP＝120°PC=2，
由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ------------------- 10分
∴三棱锥的体积
∴该五面体的体积为 -------------------- 12分
（19）解：（Ⅰ） …………1分
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由已知，解得. …………3分
（II）函数的定义域为.
（1）当时, ，的单调递增区间为；……5分
（2）当时.
当变化时，的变化情况如下：
-
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是. …………8分
（II）由得，…………9分
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
即在上恒成立. …………11分
令，在上，
所以在为减函数. ,
所以. …………14分
（20）解：（1）直线L:=1,∴=.① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
e=.② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
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由①得
，
由②得 ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ．．．．．．．．．．5分
(2)联立得：.
Δ ．．．．．．．．．．．．7分
设，则有
．．．．．．9分
∵，且以CD为圆心的圆点过点E，
∴EC⊥ED. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
则
∴，解得=＞1,
∴当=时以CD为直径的圆过定点E. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
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