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襄 州一中 枣阳一中 宜城一中 曾都一中 2016—2017学年下学期高二期中考试
数学(文) 试 题
时间:120(分钟) 主命题学校:襄州一中 命题教师:
分值:150分 副命题学校:宜城一中 命题教师:
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分:第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题.
第Ⅰ卷 ( 共60分)
一、选择题(本大题有12小题,每小题5分,共60分,请从A,B,C,D四个选项中,选
出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分.)
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.命题“若,则都为零”的否命题是( )
A.若,则都不为零 B.若,则不都为零
0
x
y
C.若都不为零,则 D.若不都为零,则
3.曲线在处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
4.已知的图象如右所示,则的一个可能图象是( )
A. B. C. D.
5.椭圆的一个顶点在抛物线的准线上,则椭圆的离心率( )
A. B. C .4 D.
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6.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.一动圆与圆外切,而与圆 内切,那么动圆的圆心的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.椭圆或双曲线一支 D.抛物线
8. 已知函数在R上可导,且,则的值为( )
A. B. C. D.
9.曲线与曲线的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
10.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
11.已知命题:函数在R为增函数,:函数在为减函数.则命题;;;中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆和双曲线的实线部分组成,已知两曲线有共同焦点M、N;A、B分别在左右两部分实线上运动,则周长的最小值为: ( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分,请将答案写在答题卷上)
13.双曲线的渐近线方程为___________.
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14.若函数在处有极小值,则实数等于_________.
15.已知命题:“”, 命题:“”,
若命题“”为假命题,则实数的取值范围为 .
16. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚,例如,某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示,其中,一个反射镜弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支,已知、是双曲线的两个焦点,其中同时又是抛物线的焦点,也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下,弧所在的曲线方程为标准方程,试根据图示尺寸(单位:cm),写出反射镜弧所在的抛物线方程为_________.
54
三、解答题(本大题有6小题,共70分,请将解答过程写在答题卷上
17.(本小题满分10分)已知命题:实数满足,
:实数满足
(1)若为真命题,求实数的取值范围.
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
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18.(本小题满分12分)已知,
(1)写出的定义域. (2)求的单调区间.
19. (本小题满分12分) 设命题 ,. 命题,. 如果命题“∨”为真命题,“∧”为假命题,求实数的取值范围.
20. (本小题满分12分)已知椭圆的左,右焦点、.若以椭圆的焦点为顶点,以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设L为过椭圆右焦点的直线,交椭圆于、两点,当周长为时;
求面积的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数
(1)求函数的极大值点和极小值点;
(2)若恰好有三个零点,求实数取值范围.
22. (本题满分12分) 已知:抛物线m焦点为,以为圆心的圆过原点 ,过引斜率为的直线与抛物线和圆从上至下顺次交于A、B、C、D.若.
(1) 求抛物线方程.
(2)当为何值时,、、的面积成等差数列;
x
y
O
A
B
C
D
F
M
N
H
(3)设M为抛物线上任一点,过M点作抛物线的准线的垂线,垂足为H.在圆上是否存在点N,使的最大值,若存在,求出的最大值;若不存在,说明理由.
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数学(文)参考答案
一、选择题 DBCDB CCDCA BA
12.第12题图
当且仅当M、A、B共线时,周长的最小
二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 14.1 15. 16.
16.解:由题意知:连接的直线为轴,线段的中点为原点.
对于抛物线,有,所以,.
因为双曲线的实轴长为 因为抛物线的顶点横坐标是.
所以,所求抛物线的方程为.
三、解答题
17.解:(1)
或
或 (5分)
(2)是的充分不必要条件是的充分不必要条件
化简, 设
则且 (10分)
18. 解: (1)的定义域为. (3分)
(2),得,(5分)
①当时,在上;在上
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的递增区间为;递减区间为 (9分)
②当时,在上;在上
的递增区间为;递减区间为 (12分)
19.解:设,得,
2
有最大值;最小值 (6分)
则命题成立得 ;命题成立得
由命题“∨”为真命题,“∧”为假命题。则一真一假
若真假,则 ;若真假,则
所以,实数的取值范围为 (12分)
20.(1)由题意双曲线为为等轴双曲线
则 ,得椭圆的离心率为 (4分)
(2)周长为8,可得:椭圆为:, (6分)
设PQ为代入椭圆得 (8分)
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(10分)
令;则.(显然当即时最大)(12分)
法二:由对称性,不妨设PQ的倾斜角为. ,
周长为8,可得:椭圆为:,
设PQ为其中 代入椭圆得
又焦点弦
,显然时取最大.
法三: 周长为8,可得:椭圆为:,
由对称性,不妨设PQ的倾斜角为. ,
又(其中)
o
x
y
21.解:(1) 得;
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在和上为增函数;在上为减函数
(也可由的图像得单调性)
函数的极大值点为,极小值点为 (6分)
(2)若恰好有三个零点,则 又得 (12分)
22.解:(1)由题意 ,;直线AD为
;
联立得
由违达定理得 ∴
∴抛物线方程 ……5分
(2) 由、、的面积成等差数列
得(即弦长)
∴ ∴ ……9分
(或)
(3)由定义
∴存在点N,使的取得最大值为4 ……12分
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