2018届高考数学大一轮复习--不等式的性质及一元二次不等式(理科含解析)
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资料简介
第一节不等式的性质及一元二次不等式 本节主要包括2个知识点:‎ ‎1.不等式的性质;2.一元二次不等式.‎ 突破点(一) 不等式的性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1.比较两个实数大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)‎ a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒0,>,故A项错误;对于B项,由ab2,故B项错误;对于C项,由aab,即-ab>-a2,故C项错误;对于D项,由a9;反之不成立,例如x1=,x2=20,x1+x2=>6,x1x2=10>9,但x13且x2>‎3”‎是“x1+x2>6且x1x2>‎9”‎的充分不必要条件.‎ ‎[答案] (1)D (2)C (3)A ‎[方法技巧]‎ 不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)不等式成立问题.熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件.‎ ‎(2)与充分、必要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用.‎ ‎(3)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.设a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是(  )‎ A.A≤B B.A≥B ‎ C.AB 解析:选B 由题意得,B2-A2=-2≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B.‎ ‎2.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是(  )‎ A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m 解析:选D 法一:(取特殊值法)令m=-3,n=2分别代入各选项检验即可.‎ 法二:m+n<0⇒m<-n⇒n<-m,又由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立.‎ ‎3.若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中,成立的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎‎ C.3 D.4‎ 解析:选C ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,故①不成立.∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bd<0,∴+=<0,故②成立.∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,故③成立.∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④成立.成立的个数为3.‎ ‎4.设a,b是实数,则“a>b>‎1”‎是“a+>b+”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 因为a+-=,若 a>b>1,显然a+-=>0,则充分性成立,当a=,b=时,显然不等式a+>b+成立,但a>b>1不成立,所以必要性不成立.‎ 突破点(二) 一元二次不等式 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1.三个“二次”之间的关系 判别式 Δ=b2-‎‎4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1<x2)‎ 有两个相等实根x1=x2=- 没有实数根 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ R 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1<x<x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎2.不等式ax2+bx+c>0(0对任意实数x恒成立⇔或 ‎(2)不等式ax2+bx+cxz,故选C.‎ ‎4.不等式组的解集是(  )‎ A.(2,3)          B.∪(2,3)‎ C.∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)‎ 解析:选B ∵x2-4x+30的解集为-,,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为________.‎ 解析:依题意知,∴解得a=-12,c=2,∴不等式-cx2+2x-a>0,即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-61},所以A∩B={x|1b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>b C.⇒> D.⇒> 解析:选C 当c=0时,ac2=0,bc2=0,故由a>b不能得到ac2>bc2,故A错误;当c⇒a0⇔或故选项D错误,C正确.故选C.‎ ‎3.已知a>0,且a≠1,m=aa2+1,n=aa+1,则(  )‎ A.m≥n B.m>n C.m0,n>0,两式作商,得=a(a2+1)-(a+1)=aa(a-1),当a>1时,a(a-1)>0,所以aa(a-1)>a0=1,即m>n;当00,a≠1,都有m>n.‎ ‎4.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-4] B.[-4,+∞)‎ C.[-4,3] D.[-4,3)‎ 解析:选B 不等式x2-2x-3≤0的解集为[-1,3],假设的解集为空集,则不等式x2+4x-(a+1)≤0的解集为集合{x|x3}的子集,因为函数f(x)=x2+4x-(a+1)的图象的对称轴方程为x=-2,所以必有f(-1)=-4-a>0,即a0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(1,+∞) D. 解析:选A 由Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为.‎ ‎6.在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选D 由定义知,不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.∵x2-x+1=2+≥,∴a2-a≤,解得-≤a≤,则实数a的最大值为.‎ 二、填空题 ‎7.已知a,b,c∈R,有以下命题:‎ ‎①若

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