专题22 矩形菱形正方形
聚焦考点☆温习理解
一、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
二、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
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S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=
名师点睛☆典例分类
考点典例一、矩形的性质与判定
【例1】（2016广东广州第18题）如图，矩形的对角线相交于点,若， 求的度数.
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【答案】∠ABD=60°.
【解析】
考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
【举一反三】
1. .（2016湖南岳阳第18题）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．
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考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
2. （2016湖南张家界第14题）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是 cm．
【答案】8.
【解析】
试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=8．
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考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.
考点典例二、菱形的性质与判定
【例2】（2016四川达州第20题）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.
【解析】
（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
25
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.
【举一反三】
1. （2016山东枣庄第9题）如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于
A． B． C．5 D．4
第9题图
A
B
C
D
H
【答案】A.
【解析】
考点：菱形的性质.
2. （2016湖北鄂州第10题）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D.
25
【答案】B．
【解析】
考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．
考点典例三、正方形的性质与判定
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】证明见解析.
【解析】
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考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.
【举一反三】
1. （2016山东淄博第8题）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
25
8．
A． B．2 C． D．10﹣5
【答案】B.
【解析】
考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.
考点典例四、特殊平行四边形综合题
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.
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【解析】
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
25
考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【举一反三】
（2016广东广州第16题）如图，正方形的边长为,是对角线，将绕点顺时针旋转450得到， 交于点，连接交于点，连接，则下列结论：
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③.
【解析】
试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=
∴HA=
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考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1．（2016河北第6题）关于ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形
C．若AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若AB=AD，则ABCD是正方形
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.
考点：矩形、菱形的判定.
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2. （2016黑龙江大庆第3题）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
【答案】D.
【解析】
考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.
3．（2016年福建龙岩第8题）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
【解析】
试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．
考点：1轴对称；2菱形.
4. （2016贵州遵义第8题）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD
25
成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
【答案】C．
【解析】
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．
5. （2016贵州铜仁第10题）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AB=AF，AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
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设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵，∴，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：=，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=3.6，所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
6. （2016浙江台州第9题）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】B．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）．
7. （2016福建莆田第5题）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D．
【解析】
25
考点：菱形的性质；平行四边形的性质．
8. （2016广西河池第11题）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．
考点：菱形的判定；平移的性质．
二、填空题
1. （2016海南省第18题）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是 （只填写序号）
【答案】①②③④.
【解析】
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考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.
2. .（2016内蒙古包头第17题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
【答案】22.5°．
【解析】
试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．
3. （2016湖北随州第16题）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
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（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．
【答案】（1），（2），（3），（5）．
【解析】
（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；
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（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵OB=BD，OE=EF，
∴OG•BD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．
考点：四边形综合题．
4. （2016湖南湘西州第8题）如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为 ．
25
【答案】24．
【解析】
试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=×6×8=24.
考点：菱形的性质．
5．（2016贵州铜仁第15题）将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问∠AEF+∠BEG= ．
【答案】90°．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）．
6. （2016辽宁葫芦岛第16题）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 ．
【答案】（0，）．
【解析】
25
考点：矩形的性质；坐标与图形性质．
三、解答题
1. （2016贵州遵义第24题）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
25
【解析】
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
2. （2016浙江台州第19题）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．
（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．
【解析】
试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；
（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．
25
考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
3. （2016内蒙古通辽第21题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．
试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．
25
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
4. （2016辽宁沈阳第19题）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
【答案】详见解析.
【解析】
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC=BD，
25
∴四边形CEDB是菱形．
考点：全等三角形的性质；菱形的判定．
25
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