人教A版选修4-1课件2.4 弦切角的性质

四弦切角的性质 1.理解弦切角的概念,会判断弦切角.2.掌握弦切角定理的内容,并能利用定理解决有关问题. 对弦切角的理解剖析:弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与圆相切.弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件. 题型一题型二题型三【例1】如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,☉O经过点A且与BC切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EF∥BC.分析:连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD与∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行. 题型一题型二题型三证明:如图,连接DF,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC.∵BC切☉O于点D,∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.反思当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系证明两条直线平行:①内错角相等,两条直线平行;②同位角相等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行等.证明时可以根据图形与已知条件合理地选择. 题型一题型二题型三【变式训练1】如图,△ABC内接于☉O,AB的延长线与过点C的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE.求证:BE∥DG.证明:∵CG为☉O的切线,∴∠EBC=∠GCE.∴∠EBC=∠E.∴∠E=∠GCE.∴DG∥BE. 题型一题型二题型三【例2】已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,CD的延长线交过点B的切线于点E.分析:直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比例式的形式,借助相似三角形的性质得出结论. 题型一题型二题型三证明:连接BD,如图.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD. 题型一题型二题型三又BE为☉O的切线,∴∠EBD=∠BCD.在△BED和△CEB中,∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,∴△BED∽△CEB.反思已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理和圆周角定理得到角相等,再通过三角形相似得到成比例线段. 题型一题型二题型三【变式训练2】如图,AB为☉O的直径,弦CD∥AB,AE切☉O于点A,交CD的延长线于点E.求证:BC2=AB·DE.证明:如图,连接BD,OD,OC.∵AE切☉O于点A,∴∠EAD=∠ABD,且AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CE,∴∠E=90°.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠E=∠ADB,∴△ADE∽△BAD,∴AD2=AB·DE.∵CD∥AB,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵∠2=∠4,∴∠1=∠3,∴AD=BC,∴BC2=AB·DE. 题型一题型二题型三易错点:忽视弦切角的一边是切线致错【例3】如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=.错解:∵AD⊥AC,∴∠BAD是弦切角.∴∠BAD=∠C.又∠C=32°,∴∠BAD=32°.错因分析:错解中,误认为∠BAD是弦切角.虽然AD⊥AC,但AD不是切线. 题型一题型二题型三正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.答案:52°反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦切角,即弦切角的三个条件缺一不可.