秦九邵算法教案(人教必修三)
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资料简介
www.ks5u.com 双峰一中高一数学必修三教案 ‎ ‎ 课题 ‎§1.3.2 秦九邵算法 课型 新课 教学目标 ‎(一)了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。(二)模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙。‎ ‎(三)通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。‎ 教学过程 教学内容 备注 一、‎ 自主学习 阅读教材P37-P39思考以下问题:‎ ‎(1)秦九邵算法的运算原理 ‎(2) 秦九邵算法的程序框图和程序 二、‎ 质疑提问 ‎1.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值,在我国古代数学中有一个优秀算法,即秦九韶算法,我们将对这个算法作些了解和探究.‎ 三、‎ 问题探究 知识探究:秦九邵算法 思考1 21325算法1:需要(5+4+3+2)=14次乘法,5次加法算法2:需要5次乘法,5次加法 秦九韶算法思考2 18556‎ 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值,这个多项式应写成哪种形式?‎ f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0‎ ‎=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…‎ ‎=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.‎ 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一次多项式的值,其算法步骤如何? ‎ 第一步,计算v1=anx+an-1. ‎ 第二步,计算v2=v1x+an-2.‎ 第三步,计算v3=v2x+an-3.‎ ‎ …‎ 第n步,计算vn=vn-1x+a0.‎ 思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法,利用该算法求f(x0)的值,一共需要多少次乘法运算,多少次加法运算? ‎ 思考6:在秦九韶算法中,记v0=an,那么第k步的算式是什么?‎ vk=vk-1x+an-k (k=1,2,…,n)‎ 例1 阅读下列程序,说明它解决的实际问题是什么?‎ 例2 求多项式,在x=a时的值. ‎ 四、‎ 课堂检测 ‎1、如果执行右面的程序框图,那么输出的 (   )‎ ‎ ‎ 否 是 A.22 B.‎46 ‎ C. D.190 ‎ 答案 C ‎2、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的 ‎ 值是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】对于,而对于,则 ‎ ‎,后面是,不 ‎ 符合条件时输出的.‎ 答案 A ‎ ‎3、阅读上(右)图的程序框图,则输出的S= ( ) ‎ A 26 B ‎35 C 40 D 57‎ ‎【解析】当时,;当时,;当 ‎ 时,;当时,;当时,‎ ‎;当时,,故选择C。‎ 答案  C ‎4、程序框图上(右)(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______。 ‎ ‎【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……‎ 答案 127‎ 点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次。‎ ‎5、已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当x=5‎ 时的函数的值。‎ 解析:把多项式变形为:f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7‎ ‎=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7‎ 计算的过程可以列表表示为:‎ 多项式x系数 ‎2‎ ‎-5‎ ‎-4‎ ‎3‎ ‎-6‎ ‎7‎ 运算 运算所得的值 ‎10‎ ‎25‎ ‎105‎ ‎540‎ ‎2670‎ ‎+‎ 变形后x的"系数"‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎21‎ ‎108‎ ‎534‎ ‎2677‎ ‎*5‎ 最后的系数2677即为所求的值 算法过程:‎ v0=2‎ v1=2×5-5=5‎ v2=5×5-4=21‎ v3=21×5+3=108‎ v4=108×5-6=534‎ v5=534×5+7=2677‎ 五、‎ 小结评价 一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数,如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中,秦九韶算法是一个优秀算法.‎

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