第十一章11.3.3平面与平面平行
课标要求1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面平行的相关定理、推论和性质.2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的平行性问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示法公共点个数两平面平行无两平面相交无数个α∥βα∩β=a
名师点睛1.作两个平行平面时,要使表示平面的两个平行四边形的相邻两边分别画成平行线;作两个相交平面时,要把交线画出,并且被遮住的部分要画成虚线或不画.2.用符号表示两个相交平面时,必须写出交线,不能写成α∩β.
过关自诊1.点P是平面α外一点,过点P且平行于平面α的平面有()A.0个B.1个C.2个D.无数个B
2.(多选题)若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,那么直线a,b的位置关系可能是()A.平行B.异面C.相交D.以上都不对答案AB解析直线a,b可以是平面α,β内的任意两条直线,它们可以平行,也可以异面,但不可能相交,故选AB.
知识点2两个平面平行1.有两条相交有两条相交直线两条直线相交
2.符号表示:(1)面面平行的判定定理:如果l⊂α,m⊂α,l∩m≠,l∥β,,则α∥β.(2)面面平行判定定理的推论:如果a⊂α,b⊂α,a∩b=A,m⊂β,n⊂β,a∥m,b∥n,则α∥β.(3)面面平行的性质定理:如果α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,则.⌀m∥βl∥m
名师点睛1.应用判定定理证明两个平面平行,必须具有两个条件:(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;(2)这两条直线必须相交.2.该定理应用时,只要在一个平面内找到(作出)两条相交直线与另一个平面平行即可.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面.4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.5.经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.
过关自诊1.两个平面平行,则这两个平面内的所有直线一定互相平行吗?提示不一定.也可能是异面直线,但可以肯定它们不相交.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1D1平行的平面是()A.平面BCDB.平面BCC1C.平面BDC1D.平面CDC1C
3.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?.(填“是”或“否”)是
知识点3三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段.名师点睛1.该性质是利用面面平行推得线线平行.2.平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).成比例
过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面.()(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.()(3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.()(4)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).()(5)如果三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有a∥b∥c成立.()√√√√√
重难探究•能力素养全提升
探究点一平面与平面平行的判定定理【例1】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点.求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明如图所示,连接A1C交AC1于点E,因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以E是A1C的中点,连接ED,因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点,所以D是BC的中点.又因为D1是B1C1的中点,所以BD1∥C1D,A1D1∥AD.又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D,所以平面A1BD1∥平面AC1D.
规律方法证明面面平行的方法证明面面平行主要是利用面面平行的判定定理,即从其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一平面,其次是利用面面平行的推论,即从其中一个面内找到两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线.
变式训练1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.又AD∥BC,∴MQ∥BC.∵MQ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴MQ∥平面PBC.在△PBD中,∵BN∶ND=PQ∶QD,∴NQ∥PB.∵NQ⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.
探究点二平面与平面平行的性质定理【例2】(1)如图,已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=.
(2)解∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,∴A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC.∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,∴△A'B'C'∽△ABC.
∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,∴A'B'∶AB=2∶5.
变式探究(1)将例2(1)改为:若点P位于平面α,β之间(如图),其他条件不变,试求BD的长.(2)已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,,求AC.
探究点三探索型问题【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
解存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.因为FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以FG∥平面PAB.因为AB∥CD,EF∥CD,所以EF∥AB,而EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.因为EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面PAB.又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈GH.所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
规律方法解探索型问题常用策略(1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.(2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论.
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.而PO⊂平面PAO,PA⊂平面PAO,PO∩PA=P,D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面D1BQ,D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.
素养培优要注意将立体问题向平面问题转化【典例】如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点.求证四边形BED1F是平行四边形.
证明取D1D的中点G,连接EG,GC,∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,
规律方法立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几何问题转化为平面几何问题再证明,不能凭想当然将平面几何中的结论或性质随意推广到立体几何中来.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知直线l是平面α的斜线,过l作平面β,使β∥α,这样的β()A.恰能作一个B.至多作一个C.至少作一个D.不存在答案D解析若存在过直线l的平面β,使得β∥α,则直线l与平面α无公共点,与直线l是平面α的斜线矛盾,不合题意,所以这样的平面β不存在.
2.若α∥β,a⊂α,下列四个命题中正确的是()①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.A.①②B.②③④C.②③D.①③④答案B解析由性质知①错误;由定义知②正确;由定义知③正确;由定义知④正确,故选B.
3.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为.答案a⊂β或a∥β解析若a⊂β,则显然满足题目条件;若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c.又a⊄β,c⊂β,所以a∥β.
4.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证:平面DEF∥平面ABC.证明如图所示,在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又AB⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,因此DE∥平面ABC.同理,EF∥平面ABC.又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC.
本课结束
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