第四章4.6函数的应用(二)
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标阐释1.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
基础落实•必备知识全过关
知识点1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关的模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0)
名师点睛利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和分段函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型:(1)平均增长率问题:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值或产量y=N(1+p)x.(2)储蓄中的复利问题:如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x.(3)根据几何、物理概念建立的函数关系,如位移、速度、时间的函数关系,灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.(4)通过观察、实验建立的函数关系,如自由落体的距离公式等.(5)分式函数模型:某应用题数学化后,得到的等量关系中分母含有自变量,我们不能直接求其最值,必须先看这个函数的单调性,从而确定该函数的最值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.()(2)函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.()×××
2.城镇化是国家现代化的重要指标,根据资料显示,1978~2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿,假设每一年城镇常住人口的增加量都相等,由此估算2035年我国城镇常住人口数为()A.10.82亿B.10.66亿C.10.98亿D.9.12亿
答案A解析设年份为x,常住人口为y(亿),则y=kx+b,因为函数过点(1978,1.7),(2013,7.3),所以y=0.16x-314.78.当x=2035时,y=0.16×2035-314.78=10.82.所以2035年我国城镇常住人口数为10.82亿.故选A.
知识点2解决函数应用题的基本思想和解题步骤函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用该函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.其中,建立函数模型解决实际问题是常见形式.
1.建立函数模型解决实际问题的基本思想
2.建立函数模型解决实际问题的解题步骤某些实际问题提供的变量关系是确定的,即设自变量为x,因变量为y,它们已建立了函数模型,我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案.具体解题步骤:第一步,审题,引进数学符号,建立数学模型,了解变量的含义,若模型中含有待定系数,则需要进一步用待定系数法或其他方法确定;第二步,求解数学模型,利用数学知识,如函数的单调性、最值等,对函数模型进行解答;第三步,转译成实际问题的解.
过关自诊1.一种产品的产量原来为a,在今后m年内,计划使产量每年比上一年增加p%,则产量y随年数x变化的函数解析式为,定义域为.答案y=a(1+p%)x{x|x∈N且0≤x≤m}解析设年产量为y,年数x,故y随x变化的解析式为y=a(1+p%)x;定义域:{x|x∈N且0≤x≤m}.
2.某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数()A.y=a+bxB.y=bxC.y=ax2+bD.y=答案Bx-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02
重难探究•能力素养全提升
探究点一指数函数模型【例1】某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式.(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤几次?(参考数据:lg2≈0.301)
解(1)设刚开始水中杂质含量为1,第1次过滤后,y=1-20%;第2次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%)2;第3次过滤后,y=(1-20%)2(1-20%)=(1-20%)3;……第x次过滤后,y=(1-20%)x.故y=(1-20%)x=0.8x,x≥1,x∈N.即至少需要过滤14次.规律方法指数函数模型的应用指数函数y=ax(a>0且a≠1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同.
变式训练1某林区某年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的解析式,并写出此函数的定义域.解由题意,得:经过1年后,木材蓄积量y1=200(1+5%)=200×1.05,经过2年后,木材蓄积量y2=200×1.05×(1+5%)=200×1.052,经过x年后,木材蓄积量y=200×1.05x.定义域为{x|x∈N*}.
探究点二对数函数模型【例2】科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg(a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的相关数据如下表:声音类型风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L(分贝)10m90求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
规律方法(1)基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.(2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
变式探究我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100km的测震仪记录的地震的最大振幅为20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1,其中lg2≈0.3010);(2)里氏5级地震给人的震感已比较明显,计算里氏7.6级地震最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍(精确到1,其中102.6≈398).
探究点三幂函数模型【例3】在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.(1)假设气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s.求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量速率R的表达式;(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率(结果精确到1).
规律方法幂函数模型的应用对于幂函数模型在实际的工程、科研等领域都有较广泛的应用,此种模型相对形式简单,但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大,很多实际问题一般直接给出模型结构形式,我们只需分析数据,利用数据确定参数即可.
变式训练2某公司研发芯片耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)成正比,已知每投入1千万元,获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式;(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大?(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获利润,当x为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
所以,当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.
学以致用•随堂检测全达标
1.(多选题)某种商品2020年提价25%,2022年要降价,但不能低于原价,则可以降价()A.25%B.20%C.15%D.10%答案BCD
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到如下的图象,下列函数中,最能近似刻画y与t关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t答案D
答案4.9
4.某品牌汽车的月产量y(万辆)与月份x(3
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