1.在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（）A．c2=a2+b2B．a2=（b+c）（b-c）C．a2=c2-b2D．b=a+c知识点：勾股定理知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。答案：B详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b+c）（b-c）可变形为b2=a2+c2，所以选B1.下列说法正确的是（ ）A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。答案：D详细解答：A是错的，缺少直角条件；B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是()A.9英寸(23cm)B.21英寸(54cm)C.29英寸(74cm)D.34英寸(87cm)知识点：勾股定理的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。答案：C详细解答：
如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距()A.50cmB.80cmC.100cmD.140cm答案：C详细解答：如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，由题意可知两个方向互相垂直，所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100cm3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是()A.1:1:B.1:1:2C.1::D.1:4:1知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。答案：A详细解答：三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（）．A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1
答案：B详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：：2。4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（）（A）15°（B）30°（C）45°（D）不能确定知识点：勾股定理在数学中的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（）（A）4（B）5（C）6（D）答案：D详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，
所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，在直角三角形APP′中，PP′2=AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．-C．2D．-2知识点：认识长度为无理数的线段知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段答案：B详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A.0B.1C.2D.3ABC答案：C详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5所以边长为无理数的边是：AB和BCB6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A．5B．25C．D．5或
知识点：两解问题知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。答案：D详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()A.42B.32C.42或32D.37或33答案：C详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42若高AD在△ABC外部，如图，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32所以选C.7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）（A）6m（B）8m（C）10m（D）18m知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题答案：C详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=8m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10m。7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险()A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断答案：B详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。BACD.8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m
的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（）.A．10mB．11mC．12mD．15m知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。答案：C详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）所以树高12m。8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为().A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m答案：A详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，由题意知：CD=1.5m，AD=0.5m,假设河水的深度BD为xm，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（）（A）（B）4（C）6（D）
知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。答案：A（2也行）分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度详细解答：作AB边的高CD,如图，在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=；小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（）。（A）20（B）（C）（D）16答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。详细解答：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=×4×-×2·=2-=小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。10.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.B.C.D.知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。答案：B详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm，那么（8-x）2=x2+42，解得x=3所以CD=10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长()．（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm
答案：A详细解答：由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2解得x＝3，即CE的长为3cm．
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