第二十九章 直线与圆的位置关系
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系,并能用相应的数量关系说明它们的位置关系.
2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的位置关系,会过一点画圆的切线.
3.了解直线与圆相切的有关性质,能判断一条直线是否为圆的切线,知道三角形的内心的概念.
4.理解切线长的概念,探索并证明切线长定理,并能运用它解决有关问题.
5.了解正多边形及其有关的概念,了解正多边形与圆的关系.
6.会用尺规作三角形的内切圆、圆的内接正方形和圆的内切正六边形.
1.经历从现实生活中抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,体会数学与生活的密切联系.
2.积极引导学生从事观察、测量、猜想、归纳、证明等活动,培养学生探究问题的能力及创新精神.
3.在探索点与圆、直线与圆的位置关系的过程中,体会数形结合思想在数学中的应用.
4.结合切线的判定和性质及切线长定理的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识的逻辑思维能力.
5.经历动手、探索、画图,了解正多边形和圆的关系,体会化归思想在解决问题中的重要性,培养学生的动手能力.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用等数学学习过程,使学生体会化归的数学思想,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
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圆作为基本的平面图形,是人们生活中常见的图形,在上一章我们学习了圆的概念、性质、和圆有关的角等知识,积累了大量的有关圆的经验.本章在此基础上,进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系,切线的性质和判定,切线长定理及正多边形与圆等相关的知识,是上一章圆的有关性质的延续和拓展,让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识,为今后学习解析几何等知识打下基础.
本章从生活实际问题出发,抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,让学生体会到学习的必要性和重要性,明确用数量关系揭示几何图形之间的位置关系,这是几何学习的深化与发展,充分体现数学中数形结合思想的应用.切线的性质和判定、切线长定理是本章内容的重点,学生通过合作学习,经历性质和判定的探究过程,进一步提高学生探究问题的能力,发展学生的逻辑思维能力.本章的学习,要用到前面许多知识和方法,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力.本章知识的学习是前面知识综合应用的过程,在初中数学学习中占有重要地位,尤其是为逐步建立的数形结合、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.
【重点】
与圆有关的位置关系;切线的性质和判定、切线长定理的证明及应用;与正多边形有关的计算.
【难点】
切线的性质和判定、切线长定理的综合运用.
1.教材将数学与生活实际相联系,让学生从实际背景中感知数学知识,体会数学在生活中的应用.在教学中应重视创设生活情景,激发学生的学习兴趣及求知欲,从生活实例中抽象出与本章相关的图形,发现图形之间的位置关系.
2.数学知识的形成过程是一个数学思维的过程,在教学过程中设计学生动手操作及合作交流的数学活动,引导学生积极参与探究活动,经历知识的形成过程,逐步提高学生的数学思维水平.
3.在教学过程中教师要关注学生的探究过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生通过小组合作与交流的方式解决问题,让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出数学概念、性质及判定,培养学生自主探究的精神及合作意识.
4.重视数学思想方法的渗透,数学思想与方法是数学学习的灵魂,本章涉及的数学思想和方法较多,如探究点与圆、直线与圆的位置关系时的分类讨论思想及数形结合思想;探究正多边形与圆时的转化思想.通过学习本章知识,使学生掌握化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.探究直线与圆的位置关系具有一定的抽象性,需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力.在教学中应重视培养学生论证及推理能力.
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本章所研究的问题常需要综合运用多方面知识,这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的,在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃.
29.1点与圆的位置关系
1课时
29.2直线与圆的位置关系
1课时
29.3切线的性质和判定
1课时
29.4切线长定理
1课时
29.5正多边形与圆
1课时
回顾与反思
1课时
29.1 点与圆的位置关系
1.了解点与圆的三种位置关系.
2.理解并掌握点与圆的三种位置关系中相关数量间的关系.
3.能应用点与圆的位置关系解决简单问题.
1.经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系的过程,体会数学与实际生活的密切联系.
2.探索点与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索点与圆的位置关系中相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.在数学活动过程中,发展学生的合作交流意识和主动探索精神.
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【重点】
点与圆的位置关系中相关数量间的关系.
【难点】
探索点与圆的位置关系的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P2~3.
导入一:
(课件展示)
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
【教师活动】 教师展示课件,引导学生观察,要解决这个问题就要研究点与圆的位置关系.
[设计意图] 由学生感兴趣的奥运射击比赛成绩的计算导入新课,激发学生的学习兴趣.
导入二:
(课件展示)
足球运动员踢出的足球在球场上滚动,在足球穿越中圈区(中间圆形区域)的过程中,可将足球看成一个点,这个点与圆具有怎样的位置关系?
【教师活动】 教师展示课件,提出问题,导出本节课的课题.
[设计意图] 足球与中圈区之间的位置关系,让学生初步感受点与圆的位置关系,体会数学与生活密切相关,降低本节课的学习难度.
导入三:
复习提问:
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1.圆的两个定义是什么?确定一个圆的两个基本要素是什么?
2.点与直线有几种位置关系?
[设计意图] 通过复习和圆有关的概念及点与直线的位置关系,为用类比思想学习新知识打下铺垫.
[过渡语] 我们已经学习了圆的性质,而圆作为一种重要的几何图形,还有许多知识,这节课我们一起学习点与圆的位置关系.
观察与思考
【师生活动】 教师通过课件演示足球穿越中圈区的动画过程,并提出问题:把足球看作点,把中圈区看作圆,点与圆有几种位置关系?学生独立思考后小组合作交流,学生代表回答,教师板书并课件展示.
(课件展示)
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.
[设计意图] 通过动画演示,让学生直观感知点与圆的位置关系,并用几何图形进行刻画,用数学语言进行描述,为进一步探究点与圆的位置关系做好铺垫,同时通过创设与生活有关的情景问题,激发学生探究本节课知识的求知欲.
共同探究
思路一
(课件展示)
已知点P和☉O,☉O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d.
1.请根据下列图形中点P和☉O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系.
语言描述
图形表示
r与d之间的
数量关系
点P在☉O外
点P在☉O上
点P在☉O内
【师生活动】 教师展示课件,学生观察独立思考后,小组内合作交流,归纳总结由点与圆的位置关系得到的r与d之间的数量关系的规律,学生代表展示后,教师板书并点评.
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(板书)
点P在圆外⇒d>r;
点P在圆上⇒d=r;
点P在圆内⇒dr,d=r,dr.
(2)点P在☉O上⇔d=r.
(3)点P在☉O 内⇔dr;
点P在圆上⇒d=r;
点P在圆内⇒dr⇒点P在圆外;
d=r⇒点P在圆上;
dr.
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(2)点P在☉O上⇔d=r.
(3)点P在☉O内⇔dr,CD=AB= cm3 cm=r,所以点B在☉A外.
(3)因为DA=AB=2.5 cmr;
点P在圆上⇔d=r;
点P在圆内⇔d5 cm,所以OP>10 cm.故选项C符合.)
3.C(解析:∵∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,∴AB==4(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=2 cm,∴点M在圆外.∵AC=4 cm> cm,∴点A在圆外,∵BC=8>,∴点B在圆外.)
4.A(解析:∵点A的坐标为(3,4),点P的坐标是(5,8),∴AP==2.∵☉A的半径为5,且5>2,∴点P在☉A的内部.)
5.B(解析:∵☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P且PM=3 cm,∴MP=3,OM=4,OM⊥PM,∴PO=5,∴点P在圆上.)
6.点P在☉O内(解析:∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5.∵点O是AC的中点,点P是CD的中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=AD=2.5.∵OPr,∴点Q在☉O外.同理可知点R在☉O内部.
2.解:如图所示,连接AC,∵AB=3,AD=4,∴AC=5,∴点B到圆心A的距离最小,点C到圆心A的距离最大,∴3
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