6.2.4组合数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
新知探究某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？
问题 上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？
2．组合数公式组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构
拓展深化[微判断]3．“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”．()提示“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”．×√×
答案B
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案2
提示成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？
题型二 与几何有关的组合应用题【例2】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
规律方法(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
【训练2】空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205B．110C．204D．200
题型三 分组、分配问题角度1不同元素的分组分配问题【例3】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
角度2相同元素分配问题【例4】将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．
规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
【训练3】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．
一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．
二、素养训练1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有()A．26种B．84种C．35种D．21种
2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A．5040B．36C．18D．20
3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0，1，2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0，1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个
4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
5．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种__________种(结果用数值表示)．解析设餐厅还需准备x种不同的素菜．又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7.答案7
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