人教版高中数学选择性必修第二册精练：4.4《数学归纳法》（解析版）

4.4数学归纳法【题组一增项问题】1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.2．（2020·河南洛阳）用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：D3．（2020·陕西省洛南中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B． C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．4．（2020·吉林吉林·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.5．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项B．项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D6．（2020·吉林洮北·高二期末（理））用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A．B． C．D．【答案】B【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故选：B.7．（2020·陕西渭滨·高二期末（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选：C．【题组二等式的证明】1．（2020·上海高三专题练习）求证：.【答案】证明见解析；【解析】当时，左边，右边，等式成立.假设时等式成立，即.那么当时，左边 右边.这就是说，当时等式仍成立.综上可知，对一切，等式成立.2．（2020·西藏乃东·山南二中高二月考（理））用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解析】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当时等式成立，即，则当时，左边=右边.所以，当时，等式成立；由（1）（2）可知，对.3．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析.【解析】当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即则当时， ，原等式仍然成立，所以4．（2020·上海高二课时练习）设，证明：.【答案】证明见解析；【解析】当时，左边，右边，故等式成立.假设当时，等式成立，即，当时，..所以当时，等式也成立. 综上所述，对任意，等式成立.5．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．②假设当时等式成立，即．那么当时，，等式也成立．根据①和②，可知对任何都成立．原等式得证.【题组三不等式的证明】1．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析；【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当，时，不等式成立，即有，则当时，左边 ，又即，即当时，不等式也成立.综上可得，对于任意，成立.2．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)．【答案】见解析【解析】(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．【题组四整除】1．（2020·上海高二课时练习）求证：能被整除．【答案】见解析【解析】当时，原式，能被整除；②当时，假设，能被整除，当时，，均可被整除， 所以当时，命题成立。综上：由①②知能被整除【题组五数归在数列中的应用】1．（2020·上海市市西中学月考）数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1），由此猜想；（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，综上所述，.2．（2020·安徽庐江·高二月考（理））各项都为正数的数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：对一切恒成立．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，又，则. (2)证明：由(1)知，即证.①当时，左边，右边，所以不等式成立；当时，左边右边，所以不等式成立．②假设当时不等式成立，即当时，左边所以当时不等式成立．由①②知对一切不等式恒成立．3．（2020·浙江高三其他）已知数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记为的前项和，证明:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）当时，由，即，所以，，又，故数列为首项与公差都为的等差数列， 所以，，即，故，而，故数列的通项公式：.（2）由（1）可得，所以，要证明，即证明.数学归纳法证明：当时，左边，右边，不等式成立；假设当时，成立，那么当时，左边右边.即当时，不等式也成立；综上，当时，不等式成立， 故.