人教版高中数学选择性必修第二册精练：4.2.1《等差数列的概念》（解析版）

4.2.1等差数列的概念题组一判断数列是否为等差数列1．（2020·河北运河·沧州市一中月考）下列说法正确是（）A．常数列一定是等比数列B．常数列一定是等差数列C．等比数列一定不是摆动数列D．等差数列可能是摆动数列【答案】B【解析】对于A选项，各项均为的常数列不是等比数列，A选项错误；对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为的等差数列，B选项正确；对于C选项，若等比数列的公比满足，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；对于D选项，若等差数列的公差，则该等差数列为递增数列；若，则该等差数列为常数列；若，则该等差数列为递减数列.所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.故选：B.2．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一期末（理））设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．，，依次成等比数列【答案】B【解析】∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴， ∴，，依次成等差数列.故选：B.3．（2019·佛山市南海区桂城中学月考）下列叙述正确的是（）A．与是相同的数列B．是常数列C．数列的通项D．数列是递增数列【答案】D【解析】数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误；数列是摆动数列，故错误；数列，通项，故错误；单调递增，则数列是递增数列，故正确.本题正确选项：4．已知数列满足，对一切，，则数列是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定【答案】B【解析】因为，所以数列为等比数列，，又，则，所以得，，故数列是递减数列.故选：B.5．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若数列的通项公式为，则此数列是（）A．公差为-1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列【答案】A【解析】∵，∴，∴{an}是公差的等差数列．故选：A题组二求等差数列的通项或项 1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在等差数列{an}中，若，公差d=2，则a7=（）A．7B．9C．11D．13【答案】A【解析】因为等差数列{an}中，且，公差d=2，所以a7=a3+4d=7.故选：A2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列的公差为，则，，∴．故选：C．3．（2020·北京平谷·期末）已知等差数列中那么（）A．17B．9C．10D．24【答案】B【解析】设等差数列的公差为，，，故选：B.4．（2019·全国高一课时练习）已知数列是等差数列，且，则公差（）A．B．4C．8D．16【答案】B【解析】等差数列中5（2019·全国高二课时练习）等差数列的第项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题,等差数列,,, 故选A6．（2020·陕西商洛·期末（文））若等差数列的公差，则_______．【答案】【解析】设，，，则．又，则，故答案为：.题组三等差中项1．（2020·上海高二课时练习）已知一等差数列中依次的三项为，则______.【答案】2【解析】由等差中项定义得：，解得：.故答案为：2.2．（2020·全国高二课时练习）若，，成等差数列，则______.【答案】0或1【解析】由题,,即,或0故答案为：0或13．（2020·甘肃武威十八中高一课时练习）已知，，成等差数列，则______．【答案】【解析】因为，，成等差数列，所以，，因此4．（2020·全国高一课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列 图像上的两点，若5是p，q的等差中项，则的值为______。【答案】【解析】设等差数列通项公式为，代入点的坐标得，解得，即，由于是的等差中项，故，所以.5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列中，已知,则 (    )A．10B．11C．12D．13【答案】A【解析】由等差中项的性质得，所以，则，所以，，故选：A.6.（2020·全国月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，成等差数列，所以，则，由正弦定理可知，，解得：.所以外接圆的半径为，从而外接圆的面积为.故选：A.题组四证明数列为等差数列1．（2020·全国高三课时练习（理））数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.证明：数列是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】证明：由已知可得=+1，即=1，所以是以=1为首项，1为公差的等差数列. 2．（2020·上海高二课时练习）数列的通项公式是．（1）求证：是等差数列，并求出其公差；（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？【答案】（1）证明见解析，公差为；（2）是该数列的第项，不是该数列中的项.【解析】（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.3．（2019·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为.（1）0.98是不是这个数列中的一项？（2）判断此数列的单调性，并求最小项.【答案】（1）是第7项（2）递增数列，【解析】（1）令,即,,可解得,故为第7项（2）由题,是递增数列,的最小项为4．（2019·全国课时练习）已知数列满足令．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)证明：∵an＝4－(n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)．∴＝＝＋(n≥1)，即bn＋1－bn＝(n≥1)．∴{bn}为等差数列．(2)解：∵为等差数列，∴＝＋(n－1)·＝.∴an＝2＋.∴{an}的通项公式为an＝2＋5．（2020·全国高一课时练习）已知数列中，，，数列满足。（1）求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。题组五数列的单调性1．（2020·河南高二期中（文））已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则 等于（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】A【解析】在等差数列中，由，得，得，∵公差为整数，．故选A．2．（2020·四川广安·高一期末（理））已知数列{an}的通项公式an＝n＋(n∈N*)，则数列{an}的最小项是( )A．a12B．a13C．a12或a13D．不存在【答案】C【解析】令，由对勾函数的性质可得：当时,函数f(x)单调递增;当时,函数f(x)单调递减。∴数列{an}的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，因此数列{an}的最小项是a12或a13.本题选择C选项.3．（2020·全国高一课时练习）在等差数列中,,且不大于,则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，选B.4.（2020·全国高二课时练习）等差数列中，公差，当时，下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，因为，，所以，又因为，所以，所以.故选：B.