人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)拓展四《导数与零点、不等式的综合运用》（解析版）

拓展四导数与零点、不等式的综合运用思维导图常见考法考点一零点问题1．（2020·河南高三月考（文））已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，，故，又当时，，故所求的切线方程为，即.（2）由题意，，令，得或， 故当时，，当时，，当时，故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.若函数有3个零点，实数满足，解得，即实数的取值范围为.【一隅三反】1．（2020·山西运城·）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】（1）函数，定义域为，，当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.当时，令，得；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减.综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减. 要有两个零点，需满足，即.此时，.因为，所以在有一个零点；因为，.令，，所以在单调递增，，所以，所以在上有一个零点.所以，有两个零点.2．（2020·陕西安康·高三三模（理））已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则 所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.3．（2020·甘肃武威）设函，．（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1个．【解析】（1），，，．，①当时，恒成立，在上是增函数，无极值．②当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值，无极大值．（2）由（1）知，当时，的极小值， 结合的单调性可知，即恒成立．在上是增函数，，，在，中有一个零点，函数的零点个数为1个．考点二导数与不等式【例2】．（2021·湖南湘潭·月考（理））已知函数．（1）求的最大值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，设，所以，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；（2）因为，所以，所以当时，且，所以恒成立，当时，若恒成立，则恒成立（*），设，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，又因为由（1）知且， 所以若（*）成立，只需要，所以，综上可知：.不等式恒成立求解参数范围的方法：（1）分离参数并构造函数解决问题；（2）采用分类讨论的方式解决问题.【一隅三反】1．（2019·广东湛江·高二期末（文））已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当时，使恒成立．【解析】函数的定义域为，，当时，由，得，或，由，得，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，恒成立，故函数的单调递增区间为.（2）恒成立等价于恒成立，令，当时，即当时，， 故在内不能恒成立，当时，即当时，则，故在内不能恒成立，当时，即当时，，由解得，当时，；当时，.所以，解得.综上，当时，在内恒成立，即恒成立，所以实数的取值范围是.2．（2020·黑龙江萨尔图·高二期末（文））已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）在处取得极小值，极小值为.（2）4【解析】（1），，∴的单调增区间是，单调减区间是.∴在处取得极小值，极小值为. （2）由变形，得恒成立，令，，由.所以，在上是减函数，在上是增函数.所以，，即，所以的最大值是.3．（2020·月考（理））已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）时，，，，曲线在点处的切线方程（2）①当时，恒成立，函数的递增区间为②当时，令，解得或x-+减增所以函数的递增区间为，递减区间为（3）对任意的，使成立，只需任意的， ①当时，在上是增函数，所以只需而所以满足题意；②当时，，在上是增函数，所以只需而所以满足题意；③当时，，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可而从而不满足题意；综合①②③实数的取值范围为.