两条异面直线所成的角和距离教案讲解

两条异面直线所成的角和距离教案 北京师大二附中 古永喜 教学目标1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题．教学重点和难点这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念．教学设计过程一、引入有关概念的必要性师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念．（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）例如a∥b，c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同．师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念．（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说） 师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同．师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念．（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同．（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同．师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义．二、异面直线所成的角的定义（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角．师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义． 定义 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．（如图3）师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1∥a，b1∥b，那么这时a1和b1所成的锐角与a′和b′所成的锐角是否相等呢？生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等”．因为a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推论．师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小与O点的选择无关，所以为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的．师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．师：设两条异面直线所成的角为θ，问θ角的取值范围？生：θ∈（0°，90°]，半开、半闭区间．师：θ角能否等于0°． 生：不能，因为当θ=0°时，异面直线就转化为平行直线．师：对，θ≠0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了．至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的．三、练习例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求：（1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？（如图4）师：请你们依次回答上述的四个问题．生：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，CC1∥BB1，所以A1B与CC1所成的角为∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B与CC1所成的角为45°．师：请回答第（2）问．生：因为CC1∥BB1，所以A1B1与CC1所成的角为∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1与CC1所成的角为90°．师：请回答第（3）问．生：因为BC∥B1C1，所以A1C1与BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1与BC所成的角为45°． 师：请回答第（4）问．生：与棱B1B垂直的棱有8条．师：有哪几条是与B1B相交垂直？有哪几条是与B1B异面垂直？生：与B1B相交垂直的棱有4条，为AB，A1B1，BC，B1C1；与B1B异面垂直的棱也有4条，为AD，A1D1，CD，C1D1．师：对．这里我们需要指出，在立体几何中．“垂直”、“相交垂直”、“异面垂直”这三个不同概念的联系和区别．以后我们讲两直线垂直，则是指这两直线可能是相交垂直，也可能是两直线异面垂直．这里我们要破除在平面几何中形成的思维定式，就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”．四、异面直线的距离的定义师：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？（同时拿出两根小棍做为异面直线a，b，再拿出一根小棍c摆出与a、b都垂直状，而小棍c在保持与a、b都垂直的情况下可平行移动，用这样的模型让学生观察，再让学生回答）生：有无数条．师：对．现在再问与这两条异面直线都相交垂直的直线有几条？生：只有一条．师：对，由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且只有一条，现在可以给出下面两个定义．定义 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．定义 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．要注意这两个定义之间的联系与区别，公垂线是一条直线，这直线在这两条异面直线间（两垂足间）的线段的长度是这两条异面直线的距离．五、练习例 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）异面直线A1A与BC的距离； （2）异面直线A1A与C1D1的距离；（3）异面直线A1B1与BC的距离．（如图5）师：在第（1）问中A1A与BC的距离等于多少？为什么？生：因为ABCD－A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A与BC的距离为4cm．师：在第（2）间中，A1A与C1D1的距离等于多少？为什么？生：因为A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A与C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A与C1D1的距离为3cm．师：在第（3）问中，A1B1与BC的距离等于多少？为什么．生：因为B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的长度就是异面直线A1B1与BC的距离，因为B1B=2cm，所以A1B1与BC的距离等于2cm．师：现在你们自己看课本第15页到第16页的例，看完后你们自己来讲．可根据课本来回答．例 设图6中的正方体的棱长为a． （1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；（3）求异面直线BC和AA′的距离．（可根据课堂情况灵活掌握让学生看3～5分钟后，叫学生回答）师：现在你们先回答第（1）问．生：因为A′平面B′BCC′，而点B、直线CC′都在平面B′BCC′内，且BCC′．所以直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直线BA′成异面直线．师：刚才回答是正确的，但它们的理论根据是什么呢？生：是根据课本第10页例，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．师；对，过去我们已经讲过，课本第10页上的例，应该明确把它“升格”为定理．这定理有的书上叫它为异面直线存在定理，有的书上把它叫做异面直线判定定理．以后，我们叫这定理为异面直线判定定理．过去我们还小结过，证明两条直线是异面直线的方法有两个，是哪两个方法．生：一是用反证法，二是用异面直线的判定定理．师：现在回答第（2）问．生：因为C′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．因为∠A′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°．师：现在回答第（3）问．生：因为AB⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂线段，因为AB=a，所以BC和AA′的距离是a．师：今天我们讲了两个很重要的概念，两条异面直线所成的角和距离，我们一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题．作业课本第17页，第9，10两题． 补充题1．正方体12条棱中，组成异面直线的对数是多少？[24]2．空间四边形的对角线互相垂直，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的四边形是矩形，试证明．[提示：证有一个角是直角的平行四边形是矩形]3．空间四边形ABCD，AB，BC，CD的中点分别是P，Q和R，[90°]4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和CC1的中点，求异面直线EF和GH所成的角是多少度？[60°]课堂教学设计说明1．为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要，一定要运用类比推理的思想，从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念，为了区别不同的相交直线要有角的概念．这样为了区别不同的异面直线要引入异面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了．例（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=2，BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，故二面角A—EB1—A1的平面角θ=π2−∠AEB，故tanθ=tan(解法三：π2−∠AEB=cotAEB=2.2（I）以B为原点，BB1、BA分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=2，∠BCC1=在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，2）1（0，2，0），B，π3，C(3133,−,0,C1(,,02222设E(3,a,0,由EA⊥EB1,得EA⋅EB1=0,即233,2−a,0,−a,2⋅(−220=(−=33+a(a−2=a2−2a+,44131331得(a−(a−=0,即a=或a=(舍去,故E(,,0222222313333BE⋅EB1=(,,0⋅(−⋅⋅0=−+=0,即BE⊥EB1.222244又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE.因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则|BE|=31+=1，故异面直线AB、EB1的距离为1.44 （II）由已知有EA⊥EB1,B1A1⊥EB1,故二面角A—EB1—A1的平面角θ的大小为向量B1A1与EA的夹角.1由A1(2,0,3,C1(0,23,3,33,,0,2213333,3,EC1=(−,得EA1=(,−,3,2222E(39∴EA1⋅EC1=−−+3=0,44∴EA1⊥EC1,即EA1⊥EC1.∴二面角A1−BD−C1的大小为90o.（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0）1（0，23，3，，B（3，3，0），C）得AD=(−2,0,0,BC1(−3,3,3,∴AD=BC1=6,|AD|=2,|BC1|=15,∴cos(AD,BC1=AD⋅BC1|AD||BC1|=6215=15.515.5∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos解法三：（I）同解法一.（II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.连结A1E，C1E，A1C1.与（I）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1—BD—C1的平面角.由E（0，0，0）1（0，－1，3,C1(0,3,3,，A得EA1=(0,−1,3,EC1=(0,3,3.QEA1⋅EC1=0∴EA1⊥EC1,即EA1⊥EC1.∴二面角A1−BD−C1的大小为90o.（Ⅲ）如图，由A（0，－1，0），D（−3，0，0），B（3，0，0）1（0，3，3）.，C得AD=(−3,1,0,BC1=(−3,3,3.∵AD⋅BC1=3+3=6,|AD|=2,|BC1|=15,∴cosAD,BC1=AD⋅BC1|AD||BC1|=6215=15,5在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与B1B所成的角是多少度？（45°）（2）问与AD1异面，且所成的角是45°的正方体的棱有哪几条？（4条即为B1B，C1C，B1C1，BC）（3）问AD1与B1C所成的角是多少度？ （90°）（4）如果M，N分别是B1C1，C1C的中点，问MN与AD1所成的角是多少度？（90°）由第（4）问这个特殊的题，用一般化的方法得出定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条．例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与A1C1所成的角的度数？（△D1AC为等边三角形，∠D1AC=60°）（2）如果M，N分别为A1B1，B1C1的中点，求MN与BC1所成的角的度数？（60°）（3）如果P，Q分别是A1A，A1D1的中点，求PQ与MN所成的角的度数？（60°）例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB与A1C1所成的角的正切？（2）A1A与BC1所成的角的正弦？（3）A1C1与AD1所成的角的余弦？ 这叫余弦定理，我们补充的定理．详见代数课本第239页二解斜三角形中的3．5余弦定理．在讲完这三个例题后，可做如下总结．小结（1）以概念为指导作出异面直线所成的角；（2）找出这个角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解这个三角形，求出所要求的角．在求异面直线所成的角的三个步骤中，关键是第（1）步，即把空间角（异面直线所成的角）转化为平面角，把解立体几何中的问题化归为解平面几何中的问题．这节课可留如下作业．（1）重做课堂练习中的例3．（2）看代数课本第239～242页．余弦定理只要求记住定理和用法，定理证明过程可略．（3）做代数课本中第243页练习1（1）（2）（3）（4）．以上就是讲完异面直线所成的角和距离后第一节练习课的讲课提纲．在这节课中我们补充了余弦定理．在讲立体几何第一章中要不要提前补充余弦定理．在什么时候补充余弦定理，下面就谈一下自己在教学实践中的想法．4．对补充余弦定理想法余弦定理本来是初中的教材，在立体几何第一章的教学中不存在补充的问题．现在的教材把余弦定理放在高一的下半学期才讲，这就出现了在立体几何第一章的教学中要不要补充余弦定理的问题． 从理论上来说，求异面直线所成角的问题都要归结到解三角形的问题．而解直角三角形的问题一般来说都比较简单，达不到提高学生解题能力的目的．而要解斜三角形，一般来说就要用到余弦定理，所以余弦定理是我们在解立体几何有关问题时思维链条中不可缺少的一个环节，所以一定要补上这一环，否则学生的解题能力很难提高．从实践上来说，1994年我从北京师大二附中退休后一直在教学第一线上工作．从1996年到1999年都在北京第九十二中教立体几何就补充了余弦定理，而且就是讲了异面直线所成的角以后补充．从教学实践的效果来看，学生完全能够理解，掌握余弦定理，并利用余弦定理来求异面直线所成的角．用一句通俗的话来说“过了这一村，就没有这个店”．错过了在这个时候补充余弦定理，并用余弦定理来求异面直线所成的角的机会，以后就很难有适当的机会再来解这些类型的题．当然，以上的一些想法只是个人在教学中的体会，提出来仅供老师们参考．