点到平面距离的几种求法

点到平面距离的几种求法通过对立体几何中空间的距离的学习，不难发现：直线与平面间的距离、两平行平面间的距离，都可以转化为点到平面的距离来解决。为此，我总结了几种点到平面距离的求法，归纳如下：一、直接法，通常有两种情况：1、利用空间图形的性质寻求垂足的位置，直接向平面引垂线，构造三角形求解。例1已知，，，。所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是14，求点到的距离。分析：由题意知，点在内的射影为的外心。然后利用外心的性质就比较容易解决问题。解：如图1，过点作于，，点为的外心，连结的长度为外接圆的半径。，由正弦定理得，。在中，，即点到的距离为7。2、种用垂面寻求垂足的位置。即“找”或“作”出一个经过该点和已知平面垂直的平面。然后，过该点作交线的垂线，则得到点到平面的垂线段。例2已知中，，等腰中，求点到面的距离。解：，又。，。交线为，过作于，则，则的长为点到面的距离。在中， 则。在等腰中，在中，则点到面的距离为。二、转移法当直接由点向平面引垂线较困难时，可利用直线（或平面）与平面的距离，转移到直线（或平面）上其它点到平面的距离。例3是边长为的正方形，分别是的中点，求点到面的距离。分析如图3，若过点作平面的垂线，垂足难以确定，不易用直接法求解。由//平面，知上的点到该平面的距离都相等，从而将点到面的距离转化为特殊点到平面的距离，使问题易于解决。解法略。三、等体积法即利用三棱锥换底的做法，达到求点到平面的距离的目的。例4将边长为的正方形沿对角线折起，使二面角为直二面角。求点到平面的距离。分析如图4为翻折后的图形。易求三棱锥的体积，且，所以的面积易求，为，所以可以利用等体积法求点到平面的距离。 解：取的中点，连结，则为三棱锥的高，且，则。，则点到平面的距离。例5已知三棱柱的体积为，截面的面积为，求点到平面的距离。分析只须求点到平面的距离，由题意可将三棱柱分割成等体积的三部分。三棱锥就是其中的一部分，由等体积法易求出点到平面的距离。解题过程略。以上三种方法都不是孤立的，而是紧密相关的。最终都是为了寻找垂足的特殊位置，构造平面图形而用之，这些方法的掌握还要依靠于学生通过作题去慢慢体会。