点到平面距离的几种求法通过对立体几何中空间的距离的学习,不难发现:直线与平面间的距离、两平行平面间的距离,都可以转化为点到平面的距离来解决。为此,我总结了几种点到平面距离的求法,归纳如下:一、直接法,通常有两种情况:1、利用空间图形的性质寻求垂足的位置,直接向平面引垂线,构造三角形求解。例1已知,,,。所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是14,求点到的距离。分析:由题意知,点在内的射影为的外心。然后利用外心的性质就比较容易解决问题。解:如图1,过点作于,,点为的外心,连结的长度为外接圆的半径。,由正弦定理得,。在中,,即点到的距离为7。2、种用垂面寻求垂足的位置。即“找”或“作”出一个经过该点和已知平面垂直的平面。然后,过该点作交线的垂线,则得到点到平面的垂线段。例2已知中,,等腰中,求点到面的距离。解:,又。,。交线为,过作于,则,则的长为点到面的距离。在中,
则。在等腰中,在中,则点到面的距离为。二、转移法当直接由点向平面引垂线较困难时,可利用直线(或平面)与平面的距离,转移到直线(或平面)上其它点到平面的距离。例3是边长为的正方形,分别是的中点,求点到面的距离。分析如图3,若过点作平面的垂线,垂足难以确定,不易用直接法求解。由//平面,知上的点到该平面的距离都相等,从而将点到面的距离转化为特殊点到平面的距离,使问题易于解决。解法略。三、等体积法即利用三棱锥换底的做法,达到求点到平面的距离的目的。例4将边长为的正方形沿对角线折起,使二面角为直二面角。求点到平面的距离。分析如图4为翻折后的图形。易求三棱锥的体积,且,所以的面积易求,为,所以可以利用等体积法求点到平面的距离。
解:取的中点,连结,则为三棱锥的高,且,则。,则点到平面的距离。例5已知三棱柱的体积为,截面的面积为,求点到平面的距离。分析只须求点到平面的距离,由题意可将三棱柱分割成等体积的三部分。三棱锥就是其中的一部分,由等体积法易求出点到平面的距离。解题过程略。以上三种方法都不是孤立的,而是紧密相关的。最终都是为了寻找垂足的特殊位置,构造平面图形而用之,这些方法的掌握还要依靠于学生通过作题去慢慢体会。