直线地一般式方程(附问题详解)

实用文档 直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考 (1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.标准文案 实用文档题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(  )A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(  )A.B.－5C.D.－3答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.(2)令y＝0则x＝－3.跟踪训练1 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为＋＝1，∵点A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②由①②可得或标准文案 实用文档解得或第二个方程组无解.故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解 方法一 l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.标准文案 实用文档将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.跟踪训练2 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－.(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案 m≠－3解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组得m＝－3，标准文案 实用文档所以m≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－＝1，所以解得所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝，所以＝1，所以解得所以m＝－或m＝2.跟踪训练3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线.∵点A在第一象限，∴直线l必过第一象限.标准文案 实用文档(2)解 如图所示，直线OA的斜率k＝＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得由①，得m＝－1或m＝.当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m＝时，②式成立，符合题意.故m＝.1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(  )A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0标准文案 实用文档2.已知ab0，B>0，C＝0C.AB0，C＝04.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(  )标准文案 实用文档A.－3B.3C.D.－5.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点(  )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是(  )A.a≠±1B.a≠1，a≠2C.a≠－1D.a≠±1，a≠27.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(  )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.标准文案 实用文档13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D标准文案 实用文档解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2.答案 C解析 由ax＋by＝c，得y＝－x＋，∵ab0，直线在y轴上的截距1或者－