高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角人教版一.本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］（证明过程：略）6.两条直线的交点【典型例题】例1.分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，求出b即可。解：法一： 法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，直线过点A（1，-4）故所求直线的方程是2x＋3y＋10＝0。例2.讨论下列各对直线是否平行或垂直：分析：解：（2）当B＝0时，则A≠0，当A＝0时，则B≠0此时，l1、l2中必有一条垂直于x轴，另一条垂直于y轴所以l1⊥l2所以总有l1⊥l2小结：本题的结论很重要，应熟记。在利用位置关系求直线方程时，有时用本题的结论设所求直线的方程来求解。一般地可证明下列结论：例3.求过点P（x0，y0）且和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程。解：∵所求直线与直线Ax＋By＋C＝0垂直 当B＝0时，直线Ax＋By＋C＝0的方程为Ax＋C＝0，过点P与它垂直的方程为y＝y0，适合上面所求方程Bx－Ay＋Ay0－Bx0＝0。同理，当A＝0时，过点P与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为x＝x0，也适合上面所求方程。小结：由所求直线方程和已知直线方程比较知：一个方程中含x项的系数与另一个方程中含y项的系数绝对值相同，而联结符号相反。一般地，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C1＝0。例4.值。解法一：解法二：小结：条直线中一条的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直。本例利用A1A2＋B1B2＝0求a的值更为快捷。例5.分析：用l1到l2的公式证明。证明：小结：本题的结论很重要，它是直线l1到l2的角的另一个重要公式。例6.等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2＝0，底边所在直线l2的方程是x＋y－1＝0，点（-2，0）在另一腰上（如图所示），求这条腰所在直线l3的方程。 分析：解：例7.（1992年全国高考题）答案：A分析：因点（x，y）关于y＝x的对称点是（y，x），故将l1方程中x，y位置调换即得l2的方程。解：法一：用反函数的有关知识可得，交换x，y的位置即可得l2的方程为bx＋ay＋c＝0，选A。法二：小结：本题考查直线方程的有关知识和反函数的概念、图象和性质。例8.直线平行。 解：将直线l1的方程化成斜截式∵l1∥l2行。小结：在直线的方程中，如果y的系数含有字母，那么求直线的斜率时，常对y的系数进行讨论。例9.已知两定点A（2，5），B（-2，1），M和N是过原点的直线l上两个动点，坐标。解：∵M，N在l上，∴可设M（a，a），N（b，b） 例10.已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是（5，4），求边AB和AC所在的直线方程。解：∵直线AC与直线BC垂直∵∠ABC＝45°小结：此题利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程。∵AC⊥BC，∴求直线AC的斜率不能用夹角公式。例11.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程是3x－y－6＝0，A、B的坐标分别为（0，-3）、（5，-1），求C的坐标。解：∵点C在直线3x－y－6＝0上∴设点C的坐标为（t，3t－6）小结：本例的解题过程主要是利用到角公式列出了t的方程求得了C的坐标。 例12.求经过点（2，3）且经过以下两条直线的交点的直线的方程：解法一：解法二：∵点（2，3）在直线上小结：求两直线的交点就是解方程组。如果方程组有一解，说明两直线相交；有无数解，两直线重合；无解，两直线平行。线都过x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点。例13.证法一：两直线的交点为P（9，-4）将点P的坐标代入原方程左端，得：此直线通过定点P（9，-4）。证法二：此式对于m为任意实数都成立∴m为任意实数时，所给直线均过定点P（9，-4）小结：上述两种证法各有特色，思路不同结论相同。【模拟试题】1.当A和C取何值时，直线和直线互相平行？2.平行于直线的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。3.已知，过且平行于AB的直线将△ABC分成两部分，求此两部分面积的比。 4.求经过点且与点距离相等的直线方程。5.三条直线能围成三角形吗？取值范围，若不能，说明理由。若能，求出实数m的值。6.在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在直线的方程为。若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。7.已知△ABC中三顶点，直线∥BC，分别交AB，AC于M，N。若直线将△ABC分成三角形和四边形两部分面积的比为4：5。（1）求直线的方程；（2）在边BC上求点P，使△PMN为直角三角形。 [参考答案]http://www.DearEDU.com1.解：∵两直线平行∴当A＝3且时，两直线互相平行2.解：依题意，可设的方程为它与x，y轴的交点分别为由已知条件得：∴直线的方程为3.解：由得，过（-4，2）且平行于AB的直线的方程为，直线AC的方程为由得与AC的交点P∴两部分面积之比为4.解：设所求直线为，则由已知条件可知：∥AB或过AB中点（1，1）若∥AB，则∴的方程为，即若过AB中点（1，1），因为又过（-2，1），易得的方程为5.略解：当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时，它们不能围成三角形由解得将代入方程中，得即时，三条直线共点。又时，；时，∴当时，三条直线能围成三角形。6.解：由方程组解得点A的坐标为（-1，0） 又直线AB的斜率，x轴是∠A的平分线，则AC边所在的直线方程为又已知BC边上的高所在的直线方程为故直线BC的斜率为所以BC边所在的直线方程为解、得顶点C的坐标为（5，-6）注：直线AC的斜率也可利用B关于∠A的平分线（）的对称点在AC上求得。7.解：（1）由，得：∴M，N分别分有向线段所成的比为2：1即，同理可得∴直线的方程为（2）由得BC边方程为由题意，设点P为①由PM⊥PN，得∴此时P点坐标为②由PM⊥MN，得∴此时P点坐标为③由PN⊥MN，得∴此时P点坐标为（0，0）综上所述，所求P点坐标为或（0，0）