新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第9章《9.2.4总体离散程度的估计》(含解析)

9.2.4 总体离散程度的估计学习目标核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点)2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点).1.通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养学生数据分析素养.1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.2．总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差．(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝.3．样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差．4．标准差的意义10 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．5．分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]．思考1：甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？[提示] 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．思考2：数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为s，那么s2与s的大小关系如何？[提示] 因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即s＜s2.1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(  )图1      图2      图3A．s3＞s1＞s2      B．s2＞s1＞s3C．s1＞s2＞s3D．s3＞s2＞s1D [所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]10 2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(  )A．1    B.    C.    D．2B [∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s＝＝.]3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则：(1)平均命中环数为；(2)命中环数的标准差为．(1)7 (2)2 [(1)＝＝7.(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]方差和标准差的计算【例1】 甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.10 s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(  )A.A>B，sA>sB   B.AsBC.A>B，sA