新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.4.3第2课时正弦定理(1)》(含解析)

第2课时 正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养. 正弦定理思考：如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？[提示] ＝＝＝c.1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(  )9 A.   B.   C.   D.C [由正弦定理得，＝，所以＝.]2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(  )A．5B．10C.D．5B [由正弦定理得，b＝＝＝10.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________． [AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________. [由正弦定理得：＝，所以sinB＝.又a>b，所以A>B，所以B＝，所以C＝π－＝.]定理证明【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.9 ∴CD＝bsinA＝asinB.∴＝.同理，＝.故＝＝.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.9 用正弦定理解三角形【例2】 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.[思路探究] ①角A，B，C满足什么关系；②105°可拆分成哪两个特殊角的和；③由正弦定理如何求得b，c的值．[解] ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝＝10.b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．2．适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角．2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a.[解] 由正弦定理得：sinC＝＝＝，∵c>b,0°