新教材人教版高中数学必修第二册课堂练习课件8.6.3《平面与平面垂直》(含答案)

8.6.3平面与平面垂直 一二三四一、二面角1.思考(1)平面几何中,“角”是如何定义的?提示从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.(2)如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.①数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?提示二面角.②平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示二面角的平面角. 一二三四2.填空(1)二面角 一二三四(2)二面角的平面角 一二三四 一二三四3.做一做(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是.答案:45°解析:∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥AD,AB⊥AD1,∴∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.易知∠D1AD=45°.(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()②二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()答案:①√②√ 一二三四二、平面与平面垂直的定义思考(1)教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?提示可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°. 一二三四(2)如何定义两个平面互相垂直?提示一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?提示两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β. 一二三四三、平面与平面垂直的判定定理1.思考(1)教室门打开和关闭的过程中,门面是绕着门轴旋转的.门轴与地面位置关系是怎样的?无论开闭到什么位置,门所在平面与地面所在平面又有什么位置关系?提示门轴与地面垂直.门所在平面与地面所在平面也垂直.(2)建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用来检测所砌的墙面与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点自由垂下时,此时细线与地面有什么关系?如果细线能紧贴墙面,说明墙面与地面有什么关系?提示此时细线与地面垂直;墙面与地面垂直. 一二三四(3)在如图所示的长方体中,AA'与平面ABCD有什么位置关系?AA'在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?提示AA'与平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B内,也在平面AA'D'D内,这两个平面都与底面垂直. 一二三四2.填空 一二三四3.做一做在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.答案:3解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC. 一二三四四、平面与平面垂直的性质定理1.思考(1)已知平面α⊥β,且交线为l,在平面α内任作一条与l不重合的直线m,直线m与l位置关系有哪些?提示直线m与l可能平行,也可能相交.(2)在问题(1)的前提下,如果直线m与l相交但不垂直,直线m与平面α可能垂直吗?如果直线m与l相交且垂直,直线m与平面α一定垂直吗?提示直线m与l不垂直时,m与平面α不可能垂直;直线m与l垂直时,m与平面α一定垂直. 一二三四(3)“已知两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线就与另一个平面垂直”,这种说法正确吗?为什么?提示不正确,必须满足这条直线与交线垂直,否则直线与平面不垂直.(4)“已知两个平面垂直,如果有一条直线垂直于交线,这条直线就与一个平面垂直”,这种说法正确吗?为什么?提示不正确,垂直于交线的这条直线必须要在其中一个平面内. 一二三四2.填空平面与平面垂直的性质定理 一二三四3.做一做(1)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则()A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能答案:A解析:由于ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC. 一二三四(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.()②已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.()③已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.()答案:①×②√③× 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证明两个平面垂直例1如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.分析(方法一)取BC的中点D,证出∠ADS为二面角A-BC-S的平面角,通过计算得到∠ADS=90°.(方法二)先证出点A在平面SBC上的射影D为△SBC的外心,即为斜边BC的中点,再证AD⊥平面SBC. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证明:(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.∵△SBC为直角三角形,∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,∴AD⊥平面SBC.又AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟证明平面与平面垂直的方法有两个:(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③根据定义,这两个相交平面互相垂直. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?解:由例1中方法一(或方法二)可得SD⊥AD.∵SD⊥BC,AD∩BC=D,∴SD⊥平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求二面角的大小例2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小为;(2)二面角B-PA-C平面角的大小为.分析先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的平面角的大小.答案:(1)90°(2)45° 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D平面角的大小为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C平面角的大小为45°. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样,步骤如下: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.作二面角的平面角的常用方法:(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.解:∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.又CD∥l,∴l⊥PD.∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练垂直关系的综合应用例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a.(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求二面角P-BC-D的大小.分析(1)转化为证明PD⊥DC与PD⊥AD;(2)转化为证明AC⊥平面PBD;(3)先证出∠PCD为二面角P-BC-D的平面角. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(1)证明:∵PD=a,DC=a,PC=a,∴PC2=PD2+DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.同时AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(3)解:由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.在Rt△PDC中,PD=DC=a,∴∠PCD=45°.即二面角P-BC-D的大小是45°.反思感悟垂直关系的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练平面与平面垂直的性质的应用例4如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.分析要证AB⊥BC,可证BC⊥平面VAB,易得VA⊥BC.又平面VAB⊥平面VBC,所以可在平面VAB内过A作VB的垂线,即与BC垂直,可得证. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证明:在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.∵AD∩VA=A,且VA⊂平面VAB,AD⊂平面VAB,∴BC⊥平面VAB.∵AB⊂平面VAB,∴AB⊥BC. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.2.平面与平面垂直的其他性质:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究【例4】中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.证明:∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,CA⊥AB,∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用典例已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.【审题视角】根据直线和平面垂直的判定定理,可在γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证法一在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B,则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.又PA∩PB=P,且PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.证法二在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β,m⊄β,∴m∥β.又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.∴l⊥γ. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练方法点睛线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下: 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC答案:B解析:∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.(多选)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m⊥α,n⊥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β答案:AC解析:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α答案:B解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,m⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有对.答案:3解析:∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴平面ADC⊥平面ABC.∴共有3对互相垂直的平面. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.解析:如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.