新教材人教版高中数学必修第二册课后巩固练习6.4.3《第3课时习题课--正弦定理和余弦定理的综合应用》(含解析)

第3课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(+1)∶2,则最大角为(  )                A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以,解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.2.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是(  )A.B.C.D.答案D解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sinC=sinA.∵A∈(0,π),∴0c,∴角C是锐角,∴C∈.故选D.3.在△ABC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sin,则△ABC周长的最大值为(  )A.8B.7C.6D.5答案C解析由题得a·sinC=c·cos,∴sinA·sinC=sinC·cos,∴sinA=cos, ∴2sincos=cos,∵,∴cos≠0,∴sin,∴A=.由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·,当且仅当b=c=2时取等号.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=(2c-b)cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.解(1)由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC≠0,∴cosA=.∵A∈(0,π),∴A=.(2)由(1)知S△ABC=bcsinA=bc,由余弦定理得cosA=(当且仅当b=c时等号成立),∴00,又因为sin2B+cos2B=1,解得cosB=.(2)∵a+c=2,可得c=2-a,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+.∵0