新教材人教版高中数学必修第二册课后巩固练习6.2.3《向量的数乘运算》(含解析)

6.2.3 向量的数乘运算课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则(  )                A.=2B.=4C.=2D.=4答案A解析由已知得=2,所以=2.2.如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,那么向量等于(  )A.B.C.D.答案A解析∵E为CD的中点,∴,则.3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(  )A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案A解析∵向量=2a+4b,=a+2b,∴=2,即点A,B,D三点共线.4.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(  ) A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则=2,∴=2λ,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是     . 答案梯形解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为     . 答案-解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,∴解得λ=-.7.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,∴.∴.同理可证明.∴=-.∴共线,又有公共点A.∴M,A,N三点共线.8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j. (2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b.∴y=3x-b=3-b=a-b.能力提升1.已知O是△ABC所在平面上的一点,若=0,则点O是△ABC的(  )A.外心B.内心C.重心D.垂心答案C解析作BD∥OC,CD∥OB,连接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG(平行四边形对角线互相平分),∴,又=0,可得=-,∴=-,∴A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线,同理,BO,CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.2.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(  )A.3∶4B.3∶2C.1∶1D.1∶3答案D解析取AC中点M,则由+3=0,得2=-3,所以2|OM|=3|OB|,O在线段BM上,因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1∶3.3.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= . 答案解析由平面向量的加法运算,有. 因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ=.所以,即解得故λ+μ=.4.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.解∵,∴3=2,即2-2.∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴设=x+(1-x)+(x-1),又,∴.又,且=t,∴=t.∴解得t=.5.已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b. (1)用向量a与b表示向量;(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,∴=-a.∴=-a-b.(2)假设存在实数λ,使=λ.∵=a+b+(-b)=a+b,)=2a+(-a+b)=a+b,∴a+b=λ,∴此方程组无解,∴不存在实数λ,满足=λ.∴C,D,E三点不共线.