新教材人教版高中数学必修第二册课时同步检测6.4.1《平面几何中的向量方法》（解析版）

第六章平面几何及其应用6.4.1平面几何中的向量方法一、基础巩固1．若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】设直线上的动点,则，,直线的方程为，2．已知，，，则的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【详解】，，，，，为直角三角形.3．已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（）A．B．C．1D．2 【答案】B【详解】解:由题意可知,为的中点,,可知为的一个三等分点,如图：因为.所以.4．在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能判定【答案】B【详解】，，可化简为：，所以的形状为直角三角形.5．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】若，则，解得.因为与的夹角为锐角，∴.又，由与的夹角为锐角，∴，即，解得. 又∵，所以.6．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【详解】，，则为钝角，“”“是钝角三角形”，另一方面，“是钝角三角形”“是钝角”.因此，“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件.7．设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为与的夹角为锐角，所以，向量，，所以，整理得，，所以的范围为.8．在△ABC中，＝，＝，且0，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】D【详解】由题意，∴，，，又是三角形内角，∴．∴是钝角三角形．9．在直角三角形中，是斜边的中点，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】如图：向量在向量方向上的投影是,10．（多选）如图，中，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（） A．在方向上的投影为0B．C．D．若，则【答案】ABC【详解】因为在中，，在中，由余弦定理得，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，所以，，对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，故C正确；对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确， 11．（多选）已知，,且与夹角为，则的取值可以是（）A．17B．-17C．-1D．1【答案】AC【详解】解:因为,且，,与夹角为.所以,解得或.12．（多选）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．在方向上的投影为【答案】BCD【详解】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，， 设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.一、拓展提升13．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.【答案】为等腰直角三角形【详解】，，，，,,所以为等腰直角三角形.14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量＝（sinA，sinB），＝（cosB，cosA），且·＝sin2C.（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·（－）＝18，求边c的长.【答案】（1）；（2）6.【详解】（1）由已知得·＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)， 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以·＝sinC，又·＝sin2C，所以sin2C＝sinC，所以cosC＝.又0＜C＜π，所以C＝.（2）由已知及正弦定理得2c＝a＋b.因为·(－)＝·＝18，所以abcosC＝18，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，所以c2＝36，所以c＝6.15．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，， 则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.