6.2.2平面向量的数量积（精练）【题组一向量的数量积】1．（2020·高一期末）已知等边的边长为2，若，，则等于（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】等边△ABC的边长为2，，，∴，，∴，，．故选：D．2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在中，为线段的中点，，，则（）A．B．C．3D．4【答案】B【解析】在中，为线段的中点，可得，,.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在中，，，为的重心，则________．【答案】6【解析】如图，点是的中点，
为的重心，，，所以故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·高一期末）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.【答案】【解析】因为，，因此，
故答案为：.5．（2020·四川内江市）在等腰中，斜边，，，，那么_____.【答案】【解析】由题可知在等腰中，斜边，，，即，，.故答案为：.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是______.【答案】【解析】∵，，∴，，∴，故答案为：.
7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.【答案】1【解析】两个单位向量，的夹角为，，又，，，解得．故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.【答案】【解析】非零向量，满足=，，,⊥,,解得，故答案为：【题组二向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量，，若，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，
因为，所以，.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.【答案】或【解析】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.【答案】【解析】平面向,满足,则因为展开化简可得,因为,代入化简可得设与的夹角为则由上式可得而代入上式化简可得令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得,而所以
由余弦函数的值域可得,即将不等式化简可得,解不等式可得综上可得,即而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,则当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大所以当时,的值最小代入可得所以与夹角余弦值的最小值等于故答案为:4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量满足.（1）求在上的投影；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），设和的夹角为，在上的投影为：；
（2）设与夹角为，.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量，，，，且与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），；（3），，即，解得：.6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量满足，（1）若，求实数的值；（2）求向量与夹角的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，所以，则与同向.因为，所以，即，整理得，解得，
所以当时，.（2）设的夹角为，则，当，即时，取最小值，又，所以，即向量与夹角的最大值为.7．（2020·全国高一专题练习）已知向量，且，与的夹角为.，.（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）【解析】（1）证明：因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，，所以，，所以，即.所以或.
（3）由知，即，即.因为，，所以，，所以.所以.（4）由前面解答知，，.而，所以.因为，由得，化简得，所以或.经检验知不成立，故.【题组三向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．-1D．【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为()A．B．1C．D．2
【答案】C【解析】由题意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)联立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影为.故选：C.3．（2020·长沙市·高一月考）已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设两个向量的夹角为，则，从而，因为，故，所以．故选：A．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知，，，则在上的投影是（）A．1B．C．2D．【答案】C【解析】因为，，，所以所以在上的投影故选：C5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知，，，则向量在向量方向的投影（）A．1B．C．3D．【答案】A
【解析】由题意，向量，，，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故选：A.6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（）A．B．-C．﹣D．【答案】D【解析】根据题意，，又点为中点，故可得，如下所示：故三角形为等边三角形，故可得，不妨设，故可得，则向量在向量上的投影为.故选：.7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.【答案】
【解析】向量满足，可得，，即为，，两式相减可得，则向量在向量上的投影为．故答案为：．8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.【答案】【解析】，，，，，向量在向量上的投影的数量为.故答案为：.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_____．【答案】【解析】因为是等边三角形，所以向量与向量的夹角为，因为边长为2，
所以向量在向量方向上的投影为，故答案为：.11．（2020·全国高一课时练习）已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.【答案】4【解析】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,根据平面向量投影定义可得,∴.故答案为:412．（2020·福建省高一期末）已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.【答案】【解析】，在方向上的投影为，，，，可得，因此，.故答案为：.【题组四向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意得，，故选：A.2．（2020·全国高一）若向量与的夹角为60°，且则等于（）A．37B．13C．D．【答案】C【解析】因为向量与的夹角为60°，且所以
所以，故选：C．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量，满足，，，则（）A．0B．2C．D．【答案】D【解析】因为向量,满足,,则故选:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量、满足：，，，则_________.【答案】.【解析】，，，因此，，故答案为.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量，满足，，则__________，__________．【答案】-14【解析】由，得，①由，得，②①-②得：，∴．故．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.【答案】1410
【解析】，当且仅当同向时等号成立，所以，即的最大值为14，由两边平方可得：，所以，所以，即.故答案为：14；107．（2020·）已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为【答案】8【解析】因为在上的投影（正射影的数量）为，所以，即，而，所以，
因为所以，即，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图，，,，，，，，，，，
化简得当且仅当时，的最小值为.故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量、满足，则的最大值为________．【答案】【解析】，则，设与的夹角为，则，，，，可得，，则，所以，，，则，所以，当时，取最大值.故答案为：.11．（2020·沙坪坝区·重庆高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.
（2）∵，∴，整理得：，解得：或.12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，则，又因为，|，所以，所以；（2）若，则，又因为，，所以即，所以，解得或，所以.13．（2020·全国高一单元测试）已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又
，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【题组五平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末），是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．可能方向不同，故错误；B．，两向量夹角未知，故错误；C．，所以，故错误；D．由C知，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）A．①②③B．①②⑤C．①②④D．①②【答案】D【解析】∵，∴，①正确；为单位向量，故，②正确；
表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故③错误；与不一定共线，故不成立，故④错误，若与垂直，则有，故⑤错误．故选：D.3．（2021·重庆）设为向量，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，若，即=所以=1，即所以若，则的夹角为0°或180°，所以“或即所以“”是“”的充分必要条件所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若，，均为单位向量，且，，则的最大值是（）A．2B．C．D．1【答案】A【解析】，，均为单位向量，且，，，
设，，得：，，方程有解，，，的最大值为2．故选：A．5．（2020·甘肃兰州市·高一期末）已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由，可得，平方可得．同理可得、，，则、、中最小的值是．故选：．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则【答案】B【解析】对于选项，若，则或或，故错误；对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.
7．（多选）（2021·江苏高一）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，∴，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A．B．若且，则C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知，，则的最小值为__________.【答案】【解析】，，，代入，原式，当时，原式最小值为.故答案为：10．（2020·湖北高一开学考试）在中，已知，，，则在方向上的投影为__________.【答案】【解析】因为，所以所以，即因为，所以即，即
，所以解得或因为，所以，即，所以，因为，所以所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．【答案】【解析】由题意，平面向量，其中，的夹角是，可得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为.故答案为：；.12．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，，，，是中点，在边上，，，则________，的值为________.【答案】【解析】因为，，，所以，
由题意，，所以，所以；由可得，解得.故答案为：；.13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，，.（1）求的值（2）记向量与向量的夹角为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，所以.（2）因为所以所以.14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知，，向量与向量夹角为45°
，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.【答案】【解析】∵，，与夹角为45°，∴，而，要使向量与的夹角是锐角，则，且向量与不共线，由得，得或.由向量与不共线得所以的取值范围为：15．（2020·全国高一课时练习）在中，，记，且为正实数），（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于的函数；（3）求函数的最小值及此时角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2，.【解析】（1）在中，，可得，所以，所以.（2）由，可得，即，整理得，
所以．（3）由（2）知，因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，即，此时，因为，可得，又因为，此时为等边三角形，所以．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．（1）试用，表示；（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接AB，则，∵A，B分别是线段CE，ED的中点，∴，则．（2)
，将，代入，则．∵，∴，则，故．
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