新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)7.3《复数的三角表示》（解析版）

7.3复数的三角表示（精讲）思维导图 常见考法考法一复数的三角表示【例1-1】（2020·全国高一课时练习）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）； （2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.（2）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.【例1-2】．（2020·全国高一课时练习）把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）. 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式. 2．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.3．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）-2i；（3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）∵，，，又，∴，∴.（2）∵，，，又，∴，∴.（3）∵，，，又，∴，∴.（4）∵，，，又，∴.∴.考法二复数的辅角【例2】（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,故复数z的辐角主值为.故选：D 【一隅三反】1.（2020·全国）复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C2．（2020·全国高一课时练习）若复数（i为虚数单位），则为（）A．B．120°C．240°D．210°【答案】C【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以.故选：C.3．（2020·辽宁辽师大附中高一期末）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，则，， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.考法三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3） .（4）.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】.故选：C2．（2020·全国高一课时练习）（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B3．（2020·全国高一课时练习）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式，并作出几何解释：（1）（2） （3）（4）.【答案】（1）-4，几何解释见解析（2），几何解释见解析（3），几何解释见解析（4），几何解释见解析【解析】（1）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的向量，则即为积所对应的向量.（2）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的 向量，则即为积所对应的向量.（3）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.（4）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.