新教材人教版高中数学必修第二册7.3.1《复数的三角表示式》学案 (含详解)

【新教材】7.3.1复数的三角表示式（人教A版）1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解.一、预习导入阅读课本83-85页，填写。 1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、_____________________为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于____________的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即____________.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成____________的形式．其中，r是复数的_______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来____________叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点____________________________________.3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们____________与____________分别相等．1．复数1＋i化成三角形式，正确的是(  )A．2(cos＋isin)B．2(cos＋isin)C．2(cos＋isin)D．2(cos＋isin)2．两个复数z1、z2的模与辐角分别相等，是z1＝z2成立的(  )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．复数－2(sin10°＋icos10°)的三角形式为___________．题型一复数的三角形式例1 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°； (2)z2＝2(cos－isin)；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(cosπ＋isinπ)；(2)z2＝(cosπ－isinπ)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)－i;(4)－2(sin＋icos)．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(cos＋isin)；(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．1．复数的辐角主值是（）A．B．C．D． 2．将复数化成代数形式，正确的是（）A．4B．-4C．D．3．复数的代数形式是_____________.4．复数的模是_____________.5．复数的代数形式与三角形式互化：（1）；（2）.答案小试牛刀1.B.2．A.3.2(cos260°＋isin260°).自主探究例1 【答案】(1)z1＝(cos＋isin)．(2)z2＝2(cos＋isin).(3)z3＝cos(＋θ)＋isin(＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝＋i，模r＝＝，cosθ＝，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝.即z1＝cos60°＋isin30°＝(cos＋isin)．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos，－2sin)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－”变换到第四象限． 所以z2＝2(cos－isin)＝2[(cos(2π－)＋isin(2π－)]＝2(cos＋isin)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ).跟踪训练一1．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝(cosπ＋isinπ)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(cosπ＋isinπ)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝(cosπ－isinπ)＝－－i，模r＝，cosθ＝－.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝π，即z2＝(cosπ－isinπ)＝(cosπ＋isinπ)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．例2【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则. 因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.跟踪训练二1．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(cos＋isin)．(3)－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．(4)－2(sin＋icos)＝2(cos＋isin)．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝.所以－2i＝2(cos＋isin)．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝，所以取θ＝－.所以－i＝2[cos(－)＋isin(－)]．(4)－2(sin＋icos)＝－＋i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－，所以取θ＝.所以－2(sin＋icos)＝2(cos＋isin)． 例3【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.跟踪训练三1．【答案】(1)z1＝＋i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－＋i.【解析】(1)z1＝3(cos＋isin)＝3×＋3×i＝＋i.(2)z2＝2[cos(－)＋isin(－)]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－)＋5×i＝－＋i.当堂检测 1-2.BD 3．4．35．【答案】（1）.（2）【解析】（1），所以.（2）所以=.