新教材人教版高中数学必修第二册8.6.2《直线与平面垂直（第1课时）直线与平面垂直的判定》学案 (含详解)

【新教材】8.6.2直线与平面垂直（人教A版）第1课时直线与平面垂直的判定1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.一、预习导入阅读课本149-152页，填写。1.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都________,就说直线l与平面α互相垂直,记作________,直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做________.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言 一条直线与一个平面内的______________都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面________,这条直线叫做这个平面的________,斜线和平面的交点A叫做________,过斜线上________的一点向平面引垂线PO,过垂足O和________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是________;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是________的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(  )A.①③B.②C.②④D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(  )A.a∥bB.a⊥bC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(  )A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为    . 题型一线面垂直的概念与定理的理解例1下列说法中正确的个数是(  ) ①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1B.2C.3D.4跟踪训练一1、下列命题中,正确命题的序号是    . ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.题型二直线与平面垂直的判定例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC. 跟踪训练二1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成角例3在正方体中，求直线与平面所成的角？跟踪训练三1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为    . 1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  ) A.若l⊥α,l∥m,则m⊥αB.若l∥α,m⊂α,则l∥mC.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αD.若l∥α,m∥α,则l∥m2.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,则H为△ABC的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心3.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是_________.4.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为    . 5．如图，在四棱锥中，平面，，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面. 答案小试牛刀1.A.2．B.3．C.4.自主探究例1【答案】B【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.跟踪训练一1、【答案】④⑤⑥.【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.例2【答案】证明见解析【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC. 同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.例3【答案】30°（或）【解析】连接，交于点O，再连接，因为是在正方体中，所以平面， 所以是直线与平面所成的角．设正方体的边长为1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°．跟踪训练三1、【答案】.【解析】因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.当堂检测1-2.AB3.4.4.45°.5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以.（2）由，，可得，因为是的中点，所以. 由（1）知，且，所以平面.又平面，所以.因为平面，平面，所以.又，，，平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.