新教材人教版高中数学必修第二册第10章《10.2课时精讲》(含解析)

(教师独具内容)课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率．教学重点：相互独立事件的含义和相互独立事件同时发生的概率公式．教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题转化为几类基本概率模型.知识点    相互独立事件的定义和性质(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．1．n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．2．独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B互斥事件A，B 同时发生，记作AB中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(  )(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(  )(3)若事件A，B相互独立，则P()＝P()P()．(  )答案 (1)√ (2)√ (3)√2．做一做(1)一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(  )A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件(2)一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(  )A.B.C.D.(3)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．答案 (1)A (2)C (3)题型一事件独立性的判断例1 判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“ 从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(  )A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个节能灯泡能用1000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2000小时”(2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(  )A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥答案 (1)A (2)A解析 (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响，故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选A. 题型二相互独立事件概率的计算例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙两种保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[解] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 求相互独立事件同时发生概率的步骤(1)①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．甲、乙两人独立地破译某密码，他们能破译的概率分别为和.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能破译的概率．解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)“两人都不能破译”为事件，则 P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.(3)“恰有一人能破译”为事件A∪B，又A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.(4)“至多一人能破译”为事件A∪B∪，而A，B，互斥，故P(A∪B∪)＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝×＋×＋×＝.题型三相互独立事件概率的实际应用例3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(2)P(3)]P(A1)＝×＝. 求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.(1)由题意，得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(  )A.B.C.D.答案 A解析 由题意，知P甲＝＝，P乙＝，由于甲、乙中靶是相互独立事件，所以P同时中靶＝P甲P乙＝.2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(  )A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件 答案 D解析 事件A的结果对事件B有影响．根据相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为(  )A．0.64B．0.32C．0.56D．0.48答案 B解析 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(即A)，另一种是甲未击中、乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.故选B.4．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案 解析 加工出来的零件的正品率为××＝，所以次品率为1－＝.5．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．解 (1)设“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.∴恰好命中一次的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝× ＋×＝＝.(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P()＝P()P()P()·P()＝2×2＝.∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝.