新教材人教版高中数学必修第二册第7章《7.1.2课时精讲》(含解析)

7.1.2 复数的几何意义知识点一   复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．知识点二   复数的向量表示如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数．知识点三   复数的模的定义公式 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．知识点四   共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．1．复数的向量表示(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．2．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z＝|z|2＝||2∈R.z与互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(  )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(  )(3)复数的模一定是正实数．(  ) (4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(  )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．做一做(1)若＝(0，－3)，则对应的复数为________．(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．(3)复数i的模是________．(4)复数5＋6i的共轭复数是________．答案 (1)－3i (2)四 (3) (4)5－6i题型一复平面内复数与点的对应例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴∴－1