新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.2.3课后课时精练》(含解析)

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列各式计算正确的个数是(  )①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3答案 C解析 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(  )A.－B．－＋C．－－D.＋答案 B解析 解法一：∵D是AB的中点，∴＝，∴＝＋＝－＋.解法二：由＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.3．设A＝(a＋5b)，B＝－2a＋8b，C＝3(a－b)，则共线的三点是(  )A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D 答案 A解析 ∵B＝B＋C＝a＋5b，A＝B，∴A，B，D三点共线．故选A.4．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(  )A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形答案 C解析 因为＝－，所以AB∥CD，且||≠||.而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(  )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案 B解析 如图所示，∵E是OD的中点，∴＝＝b.又△ABE∽△FDE，∴＝＝.∴＝3，∴＝，在△AOE中，＝＋＝a＋b，∴＝＝a＋b.故选B.二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.答案 －4解析 ∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线， ∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．答案 －b＋c解析 若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴解得8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．答案 2解析 解法一：因为＝m，＝n，所以＝，＝，则＝－＝－.因为点O为BC的中点，连接AO，所以＝＋，则＝－＝＋－＝＋，因为M，O，N三点共线，所以可设＝λ，即＋＝－，则＋＝0， 由于，不共线，所以消去λ得－＋＝0，变形整理可得m＋n＝2.解法二：在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此＝(＋)＝＋.由于＝m，＝n，则＝m＋n.由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，从而m＋n＝2.三、解答题9．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝2e1－e2，＝3e1＋e2，＝7e1－6e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．解 (1)证明：因为＝＋＝3e1＋e2＋7e1－6e2＝10e1－5e2＝5(2e1－e2)＝5，所以与共线．因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±.(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±1. 所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．B级：“四能”提升训练1．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是(  )A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p答案 A解析 ∵＝＋，＝－3＝3，∴＝.∴＝＋＝＋(－)．∴r＝q＋(r－p)．∴r＝－p＋q.2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 解析 由已知＝－＝－ ＝(－)＋＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.