第2课时 平面与平面垂直判定
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第2课时 平面与平面垂直判定

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时间:2022-08-16

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资料简介
第2课时平面与平面垂直的判定课前主动先学1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,这条直线叫做,这两个半平面叫做,若棱为,面分别为、的二面角记作.(二面角,二面角的棱,二面角的面,)2.在二面角的棱上任取一点,以为,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则叫做.二面角的大小可以用它的来度量,其范围是.(垂足,二面角的平面角,平面角,)3.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角,就说.(这两个平面互相垂直)4.两个平面互相垂直的判定定理:若一个平面过另一个平面的,则这两个平面.(垂线,垂直)先学先练1.过空间一点的三条直线两两垂直,则它们确定的平面互相垂直的对数有(D)..0.1.2.32.对于直线、和平面、能得出⊥的一个条件是(C)..⊥,∥,∥.⊥,,.∥,⊥,.∥,⊥,⊥,3.如图,已知垂直矩形所在的平面,图中互相垂直的平面有(B).DPABC第3题.2对.3对.4对.5对4.在锐角二面角中,,若到的距离是到的距离的倍,则二面角的大小为.课堂互动探究例1如图,将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角.7 例1图图(2)(1)指出这个二面角的面、棱、平面角;(2)若二面角是直二面角,求的长;(3)求与平面所成的角;分析:根据问题及图形依次解决.解:(1)因为二面角的面为和面,棱为,二面角的平面角为.(2)若,.(3)平面,为与平面所成的角.在直角三角形中,,于是.例2河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30°,沿着这条直道从堤角向上行走到10米时,人升高了多少(精确到0.1米)?例2图分析:已知所求河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解:取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.7 在河堤斜面内,作EF⊥AB.垂足为F,连接FG,可知FG⊥AB.因此,∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角,∠EFG=60°.由此得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10××≈4.3(m).答:沿着直道向上行走到10米时,人升高了约4.3米.例3如图,是⊙的直径,垂直于⊙所在的平面,是圆周上异于、的任意一点,求证:平面平面.例3图图(3)分析:证明面面垂直的有两个依据,一是证明二面角的平面角为直角,二是利用两个平面垂直的判定定理.由于点的任意性,用方法一的可能性不大,所以要寻求线面垂直.证明:因为是⊙的直径,是圆周上的点,所以有……①.因为平面,平面,则………②.由①②及,得平面,因为平面,有平面平面.随堂练习1.在所在平面外有一点,已知,与底面所成角为,二面角的大小为,且.求二面角的大小.第1题答案:如图所示,作平面于,连结并延长交于,连结.因为平面,所以是与平面所成角,.因为平面,,所以,,所以是二面角的平面角,.因为,所以.又因为,所以平面,所以平面平面,所以二面角的大小为.2.如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC,求证:面ABD⊥面ABC.7 第2题答案:取AB中点O,连接CO、DO,设CD=AC=,则DO=CO=AB=,所以在△COD中,,所以∠COD=DO⊥CO,在等腰直角△ABD中O为AB中点,所以DO⊥AB,AB、CO平面ABC,AB∩CO=O,DO⊥平面ABC且DO平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.第3题3.在四面体ABCD中,AB=AD=BD=2,BC=DC=4,二面角A-BD-C的大小为60°,求AC的长.答案:取BD中点E,连结AE,EC,因为AB=AD,BC=DC,所以AE⊥BD,EC⊥BD,所以∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,所以∠AEC=60°,因为AD=2,DC=4,所以AE=,EC=,所以据余弦定理得:AC=.课后复习本节我们学习了两个平面垂直的定义、画法及判定方法.判定方法有两种,一是利用定义,二是利用判定定理.如何应用两个平面垂直的判定定理,把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节关键.课时作业一、选择题1.二面角指的是(  C )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角2.α、β、γ、ω是四个不同平面,若α⊥γ,β⊥γ,α⊥ω,β⊥ω,则( B  )A.α∥β且γ∥ω7 B.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行3.已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( C  )A.0              B.1              C.2                D.34.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(  A )第4题A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直5.如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是( C  )第5题A.1          B.           C.           D.6.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为( C )7 A.30°            B.45°            C.60°            D.120°二填空题7.将单位正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC与面BCD所成的角为.45° 8.在60°的二面角的一个面内有一个点,它到棱的距离是8,那么它到另一个面的距离是.9.自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是.答案:互补10.已知二面角的平面角是锐角内一点C到的距离为3,点C到棱的距离为4,那么的值为.三、解答题第11题11.设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点,,求(1)与平面所成角的大小;(2)二面角的大小.答案:(1)因为面,所以,所以为与面所成角.因为,所以,所以,所以,所以,即与平面所成角的大小为.(2)取中点,连接,所以.因为,所以.又因为面,所以,所以为二面角的平面角,又因为,因为,所以.所以.即二面角的大小为.7 12.已知:如图,平面平面,,在上取线段,,分别在平面和平面内,且,,,,求长.第12题答案:连结,因为,所以,.因为,所以,.所以是直角三角形.在中,,在中,.所以长为.7

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