直线与平面垂直的概念与判定直线和平面所成的角
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直线与平面垂直的概念与判定直线和平面所成的角

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时间:2022-08-16

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资料简介
第一课时直线与平面垂直的概念和判定2.3.1直线与平面垂直的判定 问题提出1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质,对于直线与平面相交,又有哪些相关概念和原理?我们有必要进一步研究.2.直线与直线存在有垂直关系,直线与平面也存在有垂直关系,我们如何从理论上加以认识? 直线与平面垂直的概念和判定 知识探究(一):直线与平面垂直的概念思考1:田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉?你还能列举一些类似的实例吗? 思考2:将一本书打开直立在桌面上,观察书脊(想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何? 思考3:如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子,随着时间的变化,影子BC的位置在移动,在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何?ABC 思考4:上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系,称为直线与平面垂直.一般地,直线与平面垂直的基本特征是什么?怎样定义直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直. 思考5:在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直?lα 思考6:如果直线l与平面α垂直,则直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面α的垂线?过一点可作多少个直线l的垂面?lαA垂线垂面垂足 知识探究(二):直线与平面垂直的判定思考1:对于一条直线和一个平面,如果根据定义来判断它们是否垂直,需要解决什么问题?如何操作? 思考2:我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保证l⊥α吗?如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保证l⊥α吗? 思考3:如图,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,把翻折后的纸片竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌面接触,观察折痕AD与桌面的位置关系.ABCDABCD 思考4:由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相交直线时,折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法?ABCDABCD如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直? 定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.思考5:上述定理通常称为直线和平面垂直的判定定理,它是判定直线与平面垂直的理论依据.结合下图,怎样用符号语言表述这个定理?αalPb 判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.αBmnlα 思考6:如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直吗? 理论迁移例1已知.求证:αabcd mab例1、求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,n 结论:过一点和已知平面垂直的直线只有一条思考:过一点和已知平面垂直的直线有几条?P在面内P在面外 例2在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,求证:AD⊥PC.PABCD 例3侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,有A1C⊥B1D1,说明你的理由.AA1BCDB1C1D1 D.小结作业P67练习:1.P74习题2.3B组:2,4. 第二课时直线和平面所成的角2.3.1直线与平面垂直的判定 问题提出1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么?直线和平面垂直的定义:如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.直线和平面垂直的定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 2.当直线与平面相交时,对于直线与平面垂直的情形,我们已作了一些相关研究,对于直线与平面不垂直的情形,我们需要从理论上作些分析. 直线和平面所成的角 知识探究(一):平面的斜线思考1:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也可能不垂直,如果一条直线和一个平面相交但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条?αlP斜线斜足 思考2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.那么斜线l在平面α内的射影有几条?αlPAB思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形? 思考4:如图,过平面α外一点P引平面α的两条斜线段PA、PB,斜足为A、B,再过点P引平面α的垂线,垂足为O,如果PA>PB,那么OA与OB的大小关系如何?反之成立吗?αOPAB 思考5:如图,过平面α内一点P引平面α的两条斜线PA、PB,这两条斜线段在平面α内的射影分别为PC、PD,如果PA>PB,那么PC与PD的大小关系确定吗?αCPABD 思考6:如图,直线l是平面α的一条斜线,它在平面α内的射影为b,直线a在平面α内,如果a⊥b,那么直线a与直线l垂直吗?为什么?反之成立吗?aαlb 知识探究(二):直线和平面所成的角思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度,我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度,并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定,那么角的顶点宜选在何处?αl 思考2:如图,AB为平面α的一条斜线,A为斜足,AC为平面α内的任意一条直线,能否用∠BAC反映斜线AB与平面α的相对倾斜度?为什么?αCAB 思考3:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足,角的一边在斜线上,另一边在平面内的哪个位置最合适?为什么?αPAB 思考4:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.在实际应用或解题中,怎样去求这个角?αPAB 思考5:特别地,当一条直线与平面垂直时,规定它们所成的角为90°;当一条直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0°.这样,任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映,那么直线与平面所成的角的取值范围是什么? 思考6:如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何?DαCAB∠BAC>∠BAD 思考7:两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何?α 思考8:过平面α外一点P引平面α的斜线,斜足为A,若斜线PA与平面α所成的角为50°,那么点A在平面α内的运动轨迹是什么图形?PAOα 理论迁移例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO 例2如图,AB为平面α的一条斜线,B为斜足,AO⊥平面α,垂足为O,直线BC在平面α内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD 作业:P67练习:2.P74习题2.3A组:9.

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