人教版高中数学新教材必修第一册：5.7《三角函数的应用》精品学案（含答案）

【新教材】5.7三角函数的应用（人教A版）1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；3.数学运算：实际问题求解；4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；难点：实际问题抽象为三角函数模型.一、预习导入阅读课本242-245页，填写。1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(  ) A．   B．100   C．   D．502.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(  )A．，   B．2，   C.，π   D．2，π3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．题型一三角函数模型在物理学中的应用例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．(1)用“五点法”作出这个函数的简图；(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(4)经过多长时间小球往复振动一次？跟踪训练一1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需多长时间？题型二三角函数模型的实际应用例2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式跟踪训练二1. 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？1．与图中曲线对应的函数解析式是(  )A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(  )A．60   B．70C．80   D．903．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________．4．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.5 ．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量． 答案小试牛刀1．C 2.A3．0.8 .4．y＝－6sinx .自主探究例1【答案】（1）略（2）2cm.（3）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.（4）πs.【解析】(1)列表如下：t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.跟踪训练一1．【答案】 (1)3cm；(2)6cm；(3)1s. 【解析】 (1)由s＝6sin得t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3cm；(2)由解析式知，振幅为6，∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6cm；(3)T＝＝＝1，即单摆来回摆动一次需1s.例2【答案】（1）；（2）∴。【解析】（1）由图可知：这段时间的最大温差是；（2）从图可以看出：从6～14是的半个周期的图象，∴∴∵，∴又∵∴∴将点代入得：，∴，∴，取，∴。跟踪训练二1.【答案】(1)T＝12，振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．(2)在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.【解析】(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.当堂检测1．C 2．C3．y＝3sin4． 5．【答案】（1）y＝100sin＋800.(2)当年3月1日动物种群数量约是750.【解析】 (1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800(t≥0)．又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－，∴y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.