人教版高中数学必修第一册课时同步练习51《三角函数的应用》(含答案详解)

课时同步练习(五十一) 三角函数的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(  )A．2πs     B．πsC．0.5sD．1sD [依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(  )A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝C．f(x)＝xcosxD．f(x)＝xC [观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C.]3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份123456789101112平均温度－5.9－3.32.29.315.120.322.822.218.211.94.3－2.4则适合这组数据的函数模型是(  )8 A．y＝acosB．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)D．y＝acos－3C [当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.]4．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(  )A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝.故选A.]5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(  )8 A [当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.20．5 [由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．y＝2sin [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝π，所以y＝2sin，将点(0.1,2)代入y＝2sin中，得sin＝1，所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0，得φ＝，8 所以y＝2sin.]8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．7 [函数y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]三、解答题9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10℃.所以，最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－.而x∈[4,16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．10．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．8 (1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m.[解] 建立如图所示的平面直角坐标系(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在tmin内转过的角为t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.(2)当50＋40cosπt≥70时，解之得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70m.[等级过关练]1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(  )A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]C [当10≤t≤15时，有π