人教A版高中数学必修第一册4.3.2《对数的运算》导学案（含答案）

第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)重点：对数的运算性质难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是________________.2.运算性质条件,且，性质(nR)3.换底公式(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？探究一：对数的运算性质回顾指数幂的运算性质：，，．把指对数互化的式子具体化：设，，于是有．根据对数的定义有：，，．于是有对数的运算性质：如果，且时，M>0，N>0，那么：（1）；（积的对数等于两对数的和）（2）；（商的对数等于两对数的差）（3）；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(  )(2)loga(xy)＝logax·logay.(  )(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(  )例1．求下列各式的值（1）log84＋log82；（2）log510－log52（3）log2（47×25）跟踪训练1计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).探究二：换底公式问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正 数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：，根据对数的性质，有：，所以．即．其中，且，，且．公式；称为换底公式．用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算2的值。例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？跟踪训练2求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．1．计算：log153－log62＋log155－log63＝(  )A．－2    B．0    C．1    D．22．计算log92·log43＝(  )A．4B．2C.D.3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝(  )A.B.C．abD．a＋b4．log816＝________.5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)log2＋log212－log242－1.1.对数的运算法则。2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。3.对数运算法则的应用。4.换底公式的证明及应用。参考答案：二、学习过程思考辨析1.[答案] (1)√ (2)× (3)×例1.解：（1）log84＋log82＝log88＝1.（2）log510－log52＝log55＝1(3)log2（47×25）=log2219=19跟踪训练1[解] (1)原式＝(5lg2－2lg7)－·lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝＝＝＝.例2.[解]问题2：换底公式可得2=， 利用计算工具，可得=，由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，:…所需要的年数。例3解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2设里利用计算工具可得，虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。跟踪训练2.[解] (1)原式＝··＝＝＝4.(2)原式＝＝＝·＝..三、达标检测1.【答案】B [原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]2.【答案】D [log92·log43＝·＝.]3.【答案】B [∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝＝＝.]4.【答案】 [log816＝log2324＝.]5【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. (2)原式＝log2＋log212－log2－log22＝log2＝log2＝log22＝－.