中考数学模拟练习卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项1.下列各数中，比﹣2小的数是（ ）A.2B.0C.﹣1D.﹣32.下列计算正确的是（ ）A.a2•a3=a6B.2a+3b=5abC.a8÷a2=a6D.（a2b）2=a4b3.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A.B.C.D.4.已知点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.5.如图，▱ABCD中，∠C=120°，AB=AE=5，AE与BD交于点F，AF=2EF，则BC的长为（ ）A.6B.8C.10D.126.已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点.若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）A.x0＞﹣5B.x0＞﹣1C.﹣5＜x0＜﹣1D.﹣2＜x0＜3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7.据报道，全省将有近15万人参加2018第32页（共32页）
年省公务员录用考试笔试，数字15万用科学记数法表示为： .8.已知α、β是方程x2+x﹣6=0的两根，则α2β+αβ= .9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是 .10.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.11.如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .12.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是 .第32页（共32页）
三、解答题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）13.（1）计算：|﹣2|﹣3tan30°+（2﹣）0+（2）如图，已知BC平分∠ACD，且∠1=∠2，求证：AB∥CD.14.先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2，其中x=﹣.15.某校食堂的中餐与晚餐的消费标准如表 种类 单价 米饭 0.5元/份 A类套餐菜 3.5元/份 B类套餐菜 2.5元/份一学生某星期从周一到周五每天的中餐与晚餐均在学校用餐，每次用餐米饭选1份，A、B类套餐菜选其中一份，这5天共消费36元，请问这位学生A、B类套餐菜各选用多少次？16.在图1、2中，⊙O过了正方形网格中的格点A、B、C、D，请你仅用无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列条件的∠P（1）顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；（2）∠P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2.第32页（共32页）
17.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c.（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少.（画出树状图或列表） 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18.为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a的值为 ，所抽查的学生人数为 .（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图.（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数.（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数.19.如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（﹣1，a）.（1）求直线AB和反比例函数的解析式；第32页（共32页）
（2）求∠ACO的度数.20.如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦与AB平行，与DO的延长线交于M点.（1）求证：点M是CF的中点；（2）若E是的中点，连结DF，DC，试判断△DCF的形状；（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长. 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21.A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图.（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）.请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a.第32页（共32页）
在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象.22.在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点.（1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°.…请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点.（一种方法即可）（3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求的值.23.已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线.（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；第32页（共32页）
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第32页（共32页）
参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项1.下列各数中，比﹣2小的数是（ ）A.2B.0C.﹣1D.﹣3【考点】18：有理数大小比较.【分析】根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案.【解答】解：|﹣3|＞|﹣2|，∴﹣3＜﹣2，故选：D.2.下列计算正确的是（ ）A.a2•a3=a6B.2a+3b=5abC.a8÷a2=a6D.（a2b）2=a4b【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方.【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断.【解答】解：A、a2•a3=a5，本选项错误；B、2a+3b不能合并，本选项错误；C、a8÷a2=a6，本选项正确；D、（a2b）2=a4b2，本选项错误.故选C. 3.如图所示的几何体的俯视图是（ ）第32页（共32页）
A.B.C.D.【考点】U1：简单几何体的三视图.【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，故选：B.4.已知点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集；D1：点的坐标.【分析】由点P在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围，再对照四个选项即可得出结论.【解答】解：∵点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限，∴，解不等式①得：a＜1；解不等式②得：a＞.∴a的取值范围为＜a＜1.故选C. 5.如图，▱ABCD中，∠C=120°，AB=AE=5，AE与BD交于点F，AF=2EF，则BC的长为（ ）第32页（共32页）
A.6B.8C.10D.12【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=60°，得到△ABE是等边三角形，求出BE=AB=5，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：在▱ABCD中，∠C=120°，∴∠ABC=60°，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=5，∵AD∥BC，∴==2，∴BC=10，故选：C. 6.已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点.若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）A.x0＞﹣5B.x0＞﹣1C.﹣5＜x0＜﹣1D.﹣2＜x0＜3【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征.【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解.【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c，∴＜1，∴﹣＞﹣1，∴x0＞﹣1第32页（共32页）
∴x0的取值范围是x0＞﹣1.故选：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7.据中古江西网报道，4月22日全省将有近15万人参加2017年省公务员录用考试笔试，数字15万用科学记数法表示为： 1.5×105 .【考点】1I：科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.【解答】解：将15万用科学记数法表示为1.5×105.故答案为：1.5×105. 8.已知α、β是方程x2+x﹣6=0的两根，则α2β+αβ= 12或﹣18 .【考点】AB：根与系数的关系.【分析】先利用根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣6，所以α2β+αβ=αβ（α+1）=﹣6（α+1），再解方程解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2，然后把α=﹣3和α=2分别代入计算即可.【解答】解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣6，所以α2β+αβ=αβ（α+1）=﹣6（α+1），而解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2，当α=﹣3时，原式=﹣6（﹣3+1）=12；当α=2时，原式=﹣6（2+1）=﹣18.故答案为12或﹣18. 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是 1≤k≤4 .第32页（共32页）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】求得A和B分别在双曲线上时对应的k的值，则k的范围即可求解.【解答】解：当（1，1）在y=上时，k=1，当（2，2）在y=的图象上时，k=4.则双曲线y=与线段AB有公共点，则k的取值范围是1≤k≤4.故答案是：1≤k≤4. 10.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3+3） cm.【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题；I9：截一个几何体.【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.【解答】解：如图所示：第32页（共32页）
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm.故答案为：（3+3）. 11.如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 2+ .【考点】T7：解直角三角形.【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=可得答案.【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，第32页（共32页）
∵在Rt△AOC中，OC===，∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+.故答案是：2+. 12.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是 10或12或8 .【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KH：等腰三角形的性质；LB：矩形的性质.【分析】当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线y=，即可求得k的值.【解答】解：∵点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），∴当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP==3，P的坐标是（3，4）；当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）.∵点P在双曲线y=上，∴k=2.5×4=10或k=3×4=12或k=2×4=8，故答案为10或12或8. 三、解答题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）13.（1）计算：|﹣2|﹣3tan30°+（2﹣）0+第32页（共32页）
（2）如图，已知BC平分∠ACD，且∠1=∠2，求证：AB∥CD.【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；J9：平行线的判定；T5：特殊角的三角函数值.【分析】（1）依据绝对值的性质、特殊锐角三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可；（2）先证明∠2=∠BCD，最后再利用平行线的判定定理进行证明即可.【解答】解：（1）原式=2﹣3×+1+2=2﹣+1+2=3+；（2）∵BC平分∠ACD，∴∠1=∠BCD.又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BCD.∴AB∥CD. 14.先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2，其中x=﹣.【考点】4J：整式的混合运算—化简求值.【分析】根据整式的乘法去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案.【解答】解：原式=x2﹣4﹣（x2﹣2x+1）=2x﹣5，∵x=﹣，∴2x﹣5=2×（﹣）﹣5=﹣6. 15.某校食堂的中餐与晚餐的消费标准如表 种类 单价 米饭 0.5元/份 A类套餐菜 3.5元/份第32页（共32页）
B类套餐菜 2.5元/份一学生某星期从周一到周五每天的中餐与晚餐均在学校用餐，每次用餐米饭选1份，A、B类套餐菜选其中一份，这5天共消费36元，请问这位学生A、B类套餐菜各选用多少次？【考点】9A：二元一次方程组的应用.【分析】设这位学生A类套餐菜选了x次，B类套餐菜选了y次，根据该星期从学生用餐10次以及总消费36元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论.【解答】解：设这位学生A类套餐菜选了x次，B类套餐菜选了y次，根据题意得：，解得：.答：这位学生A类套餐菜选了6次，B类套餐菜选了4次. 16.在图1、2中，⊙O过了正方形网格中的格点A、B、C、D，请你仅用无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列条件的∠P（1）顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；（2）∠P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2.【考点】N4：作图—应用与设计作图；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形.【分析】①如图1中，∠P即为所求；②如图2中，∠P即为所求；③如图3中，∠EPC即为所求；【解答】解：①如图1中，tan∠P=1.理由：∵∠P=∠DOC=45°，第32页（共32页）
∴tan∠P=1.∴∠P即为所求；如图2中，tan∠P=.理由：∵∠P=∠FAC，∴tan∠P=tan∠FAC==.∴∠P即为所求.如图3中，tan∠EPC=2.理由：∵∠E=∠FAC，PE是直径，∴∠FAC+∠AFC=90°，∠E+∠EPC=90°，∴∠AFC=∠EPC，tan∠EPC=tan∠AFC==2.∴∠EPC即为所求； 17.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c.（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少.（画出树状图或列表）【考点】X6：列表法与树状图法.【分析】（1）主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率则为×=.（2）画出树形图，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率.第32页（共32页）
【解答】解：（1）答：P（恰好是A，a）的概率是=；（2）依题意画树状图如下：孩子家长abacbcABAB，abAB，acAB，bcACAC，abAC，acAC，bcBCBC，abBC，acBC，bc共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（AC，ac），（BC，bc）3种，故恰好是两对家庭成员的概率是P==. 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18.为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到1h），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a的值为 45% ，所抽查的学生人数为 60 .（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图.（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数.（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数.【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W5：众数.【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意即可得到结果；（3）根据众数，平均数的定义即可得到结论；第32页（共32页）
（4）根据题意列式计算即可.【解答】解：（1）a=1﹣20%﹣30%﹣5%=45%；所抽查的学生人数为：3÷5%=60人；故答案为：45%，60；（2）平均睡眠时间为8小时的人数为：60×30%=18人；（3）这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，平均数==7.2小时；（4）1200名睡眠不足（少于8小时）的学生数=×1200=780人. 19.如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（﹣1，a）.（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求∠ACO的度数.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠第32页（共32页）
0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数.【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（0，2），B（2，0）代入得：，解得：，故直线AB解析式为y=﹣x+2，将D（﹣1，a）代入直线AB解析式得：a=+2=3，则D（﹣1，3），将D坐标代入y=中，得：m=﹣3，则反比例解析式为y=﹣；（2）联立两函数解析式得：，解得：或，则C坐标为（3，﹣），过点C作CH⊥x轴于点H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，tan∠COH==，∠COH=30°，在Rt△AOB中，tan∠ABO===，∠ABO=60°，∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°.第32页（共32页）
20.如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦与AB平行，与DO的延长线交于M点.（1）求证：点M是CF的中点；（2）若E是的中点，连结DF，DC，试判断△DCF的形状；（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长.【考点】MC：切线的性质.【分析】（1）根据垂径定理可知，只要证明OM⊥CF即可解决问题；（2）结论：△DFC是等边三角形.由点M是CF中点，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是中点，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；（3）只要证明△BCD是等边三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，可得OC=OD=a，OA=a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∵CF∥AB，第32页（共32页）
∴∠OMF=∠ODB=90°，∴OM⊥CF，∴CM=MF.（2）解：结论：△DFC是等边三角形.理由：∵点M是CF中点，DM⊥CF，∴DE=DF，∵E是中点，∴DC=CF，∴DC=CF=DF，∴△DCF是等边三角形.（3）解：∵BC、BD是切线，∴BC=BD，∵CE垂直平分DF，∴∠DCA=30°，∠DCB=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，∴OC=OD=a，OA=a，∴AE=OA﹣OC=a. 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）第32页（共32页）
21.A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图.（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）.请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a.在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象.【考点】FH：一次函数的应用.【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b.把图象经过的坐标代入求出k与b的值.（2）根据路程与速度的关系列出方程可解.（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇.再由1得出y=﹣90x+300.设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间.【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b.∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300.第32页（共32页）
即y关于x的表达式为y=﹣90x+300.方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120.所以，这条高速公路长为300千米.甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）.∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）.∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）.（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米.∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中.当s=0时，x=2.即甲乙两车经过2小时相遇.因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=.所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）.乙车与甲车相遇后的速度a=÷2=90（千米/时）.∴a=90（千米/时）.乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示. 第32页（共32页）
22.在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点.（1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°.…请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点.（一种方法即可）（3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求的值.【考点】SO：相似形综合题.【分析】（1）证明：根据已知条件得到□ABCD为矩形，AB=CD，根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，由轴对称的性质得到∠1=∠2，AB=AB′，根据平行线的性质得到∠2=∠3，∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠4=∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB′交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB′，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行线的性质得到∠B′BC=90°，根据余角的性质得到∠3=∠4，于是得到结论；（3）取B′E的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB′的中点，根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°，根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°，根据三角函数的定义即可得到结论.第32页（共32页）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴□ABCD为矩形，AB=CD，∴∠D=∠BAD=90°，∵B，B′关于AD对称，∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，∴∠B′AD=∠D，∵∠AFB′=∠CFD，在△AFB′与△CFD中，，∴△AFB′≌△CFD（AAS），∴FB′=FC，∴F是CB′的中点；（2）证明：方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，∵B，B′关于AD对称，∴∠1=∠2，AB=AB′，∵B′G∥CD，AB∥CD，∴B′G∥AB.∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴B′A=B′G，∵AB=CD，AB=AB′，∴B′G=CD，∵B′G∥CD，∴∠4=∠D，∵∠B′FG=∠CFD，第32页（共32页）
在△B′FG与△CFD中，∴△B′FG≌△CFD（AAS），∴FB′=FC，∴F是CB′的中点；方法2：连接BB′交直线AD于H点，∵B，B′关于AD对称，∴AD是线段B′B的垂直平分线，∴B′H=HB，∵AD∥BC，∴==1，∴FB′=FC.∴F是CB′的中点；方法3：连接BB′，BF，∵B，B′关于AD对称，∴AD是线段B′B的垂直平分线，∴B′F=FB，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴B′B⊥BC，∴∠B′BC=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∴FB=FC，∴B′F=FB=FC，∴F是CB′的中点；（3）解：取B′E的中点G，连结GF，第32页（共32页）
∵由（2）得，F为CB′的中点，∴FG∥CE，FG=CE，∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°，∵FG∥CE，AB∥CD，∴FG∥AB，∴∠GFA=∠FAB=45°，∴∠FGA=90°，GA=GF，∴FG=sin∠EAD•AF=AF，∴由①，②可得=. 23.已知抛物线l：y=ax2+bx+第32页（共32页）
c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线.（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 y=﹣x2﹣3 ，衍生直线的解析式是 y=﹣x﹣3 ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】HF：二次函数综合题.【分析】（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得.（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式.（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）.在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值.进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标.【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，第32页（共32页）
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3.设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直线为y=﹣x﹣3.（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）.设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1.（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2.设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），第32页（共32页）
∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5.①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）.②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）.③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）.综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形. 第32页（共32页）
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