1.2.3空间几何体的直观图
1.通过画一些几何图形的直观图,了解斜二测画法的概念.2.掌握斜二测画法画平面图形和简单立体图形的直观图的方法.3.通过观察三视图和直观图,知道空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=_____(或_____),它们确定的平面表示_______.(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于___________轴的线段.45°135°水平面x′轴或y′
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中______________,平行于y轴的线段,长度_____________.斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变,纵折半,平行位置不改变.保持长度不变为原来的一半
2.空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个__轴,直观图中与之对应的是____轴.(2)画平面：平面____表示水平平面,平面____和____表示竖直平面.(3)取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中_____________都不变.(4)成图处理：成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为_____.zz′xOyyOzxOz平行性和长度虚线
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)在实物图中取不同的坐标系,所得的直观图有可能不同.()(2)平行于坐标轴的线段的长度在直观图中仍然保持不变.()(3)正方形的直观图还是正方形.()
提示：(1)正确.根据平面图形直观图的画法,在实物图中所取坐标系不同,得到的直观图也可能不同.(2)错误.根据斜二测画法的定义,平行于x轴、z轴的线段的长度在直观图中仍然保持不变,平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来长度的一半.(3)错误.正方形的直观图为平行四边形.答案：(1)√(2)×(3)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)已知AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,AB的直观图是A′B′,CD的直观图是C′D′,则A′B′=C′D′.(2)如图所示的直观图,其平面图形的面积为.
(3)一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为.
【解析】(1)因为AB∥x轴,所以AB=A′B′,因为CD∥y轴,所以CD=2C′D′.因为AB=2CD,所以A′B′=4C′D′.答案：4(2)其平面图形为一直角三角形,所以其平面图形的面积为S=×3×4=6.答案：6
(3)在直观图中A′B′C′O′是有一个角为45°且长边长为2,短边长为1的平行四边形,所以B′到x′轴的距离为.答案：
一、平面图形的直观图探究1：观察上面的图形,其中图2为图1的直观图.思考下面的问题：
(1)从数量关系来看哪些数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?提示：从图形可以看出与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.
(2)从线的位置关系来看原图形与直观图有什么变化?提示：从图形中可以看出,原图形中平行的直线,在直观图中保持平行.
(3)在直观图中,点B′与C′的位置是如何确定的?提示：对于B′点,因为A′B′=AB,故截取A′B′=2即可确定B′点,对于C′,因为BC∥y轴,故B′C′∥y′轴,且B′C′=BC,由此过B′作B′C′∥y′轴,且B′C′=1,即可确定C′点.
探究2：通过上面的图形回答斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么?提示：“斜”是指斜投影,具体说是在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或平行于z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
【探究提升】直观图中的“变”与“不变”(1)平面图形用直观图表示时,一般来说,平行关系不变.(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化,特别注意垂直关系中角的变化特点.
二、空间图形的直观图探究：如图是一个正四棱锥,探究以下问题,体会空间图形直观图的画法
(1)在画平面图形直观图的基础上,考虑应如何建系?提示：过P作PO⊥平面ABCD,过O作AB的平行线交AD与BC于M,N两点,则以MN所在直线为x轴,以PO所在直线为z轴建系较合适.
(2)在画此正四棱锥的直观图时,与z轴平行的线段在直观图中与哪个轴平行,长度是否改变?提示：在画立体图形的直观图时,与z轴平行的线段在直观图中与z′轴平行且长度不变.(3)在画上述正四棱锥的直观图时,被遮挡的线为DC.在画直观图时应如何处理?提示：应画成虚线.
【探究提升】三视图与直观图的区别和联系(1)区别：直观图的直观性较强;三视图虽然能更精确地表示出线段的长短和位置关系,但立体感不强.(2)联系：三视图能帮助人们从不同角度认识几何体的结构特征,直观图是对空间图形的整体刻画.我们可以根据直观图的结构来想象实物图的形象,同时能由空间几何体的三视图画出它的直观图,也能由直观图得出它的三视图.
【拓展延伸】画直观图时建立坐标系的原则(1)平面图形中若有互相垂直的直线,一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴.(2)若平面图形为轴对称图形,一般取对称轴作为坐标轴;若平面图形为中心对称图形,一般取对称中心为坐标原点.(3)若这些条件都不具备,则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上.
类型一平面图形直观图的画法尝试完成下面的问题,体会平面图形直观图的画法策略.1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴,y轴,则直观图中∠A′=()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°
2.如图画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.【解题指南】1.根据斜二测画法的规则判断.2.先建立直角坐标系,然后根据直观图的画法规则画图.
【解析】1.选C.根据斜二测画法规则,平行于坐标轴的直线,在直观图中分别平行于x′轴和y′轴,所以∠A′=45°或135°.
2.(1)如图,取线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′,并使C′D′=CD.
(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图
【技法点拨】平面图形直观图的画法策略(1)对于已有坐标系的,按照斜二测画法的规则作图即可,对于与坐标轴不平行的线,可通过过定点作与坐标轴平行线的方法作图.(2)对于没有坐标系的,选取适当的坐标系是关键,一般是使平面多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上,这样有利于画点.(3)原图中共线的,在直观图中仍然共线,原图中平行的直线,在直观图中仍然平行.
【变式训练】用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图,正确的是()【解题指南】利用斜二测画法的规则进行判断.
【解析】选B.以直角顶点为坐标原点建立坐标系,由斜二测画法规则知,在直观图中此角变为钝角,排除C和D,又原三角形的高在y轴上,在直观图中在y′轴上,长度减半,故为B.
类型二空间图形直观图的画法试着解答下面的问题,体会空间几何体直观图的画法规则,并总结画空间几何体直观图的原则.1.在画空间图形的直观图时,x′轴,y′轴,z′轴所成的角∠x′O′y′=,∠x′O′z′=.
2.已知某几何体的三视图如图,试用斜二测画法画出它的直观图.
【解题指南】1.空间图形的直观图相比平面图形的直观图多了一个z′轴,z′轴与x′轴垂直,x′轴,y′轴与平面图形直观图的画法保持一致.2.先根据三视图,确定该几何体的结构特征,再根据直观图的画法规则画出该几何体的直观图.
【解析】1.由立体图形直观图的画法规则知∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.答案：45°(或135°)90°
2.由该几何体的三视图可知该几何体是一个简单组合体,下方是一个四棱柱,上方是一个四棱锥,并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合,可以先画下方的四棱柱,再画上方的四棱锥.(1)画轴.如图(1)所示画出x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画棱柱的底面.以O为中点,在x轴上画MN=2,在y轴上画EQ=1,分别过点M,N作y轴的平行线,过点E,Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是该棱柱的下底面.(3)画棱柱的侧棱.分别以A,B,C,D四个顶点为起点作平行于z轴,长度为1的线段,得四条侧棱AA′,BB′,CC′,DD′,顺次连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.(4)画四棱锥的顶点.在Oz上截取线段OP使OP=2.
(5)成图.连接PA′,PB′,PC′,PD′,擦去辅助线,将被遮挡部分改为虚线,可得图(2)所示的直观图.
【技法点拨】画空间几何体的直观图应注意的三个原则(1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性,一般坐标原点建在图形的对称中心处.(2)要先画出底面的直观图,然后再画出其余各面.(3)与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
【变式训练】试画出底面边长为1.2cm,高为1.5cm的正四棱锥的直观图.【解析】画法：(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).
(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内画出正方形直观图ABCD,使AB=1.2cm,BC=0.6cm.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP=1.5cm.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得正四棱锥的直观图,如图(2).
类型三直观图中的计算问题通过解答下面的问题,体会平面图形与其直观图的关系,并总结直观图与原图形关系的注意点.1.一个水平放置的正方形的面积是4,按斜二测画法所得的直观图是一个四边形,这个四边形的面积是()
2.如图是四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形,∠B′=∠C′=45°,求原四边形的面积.【解题指南】利用直观图与原图形线段的长度关系求直观图的面积.
【解析】1．选B．水平放置的正方形斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，因为原图形面积是4，所以边长为2，在直观图中平行于x轴一边的长度不变，仍为2，但平行于y轴的一边为1，又夹角为45°,所以在直观图中的面积为2×1×，故选B．
2．取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′=45°，所以取B′A′为y′轴，过D′点作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′=A′D′=1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′=．再建立一个直角坐标系，xBy，如图：
在x轴上截取线段BC=B′C′=1+，在y轴上截取线段BA=2B′A′=2，过A作AD∥BC，截取AD=A′D′=1．连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD=1，下底BC=1+，高AB=2，所以四边形ABCD的面积S=AB·(AD+BC)=×2×(1+1+)
【技法点拨】平面图形的直观图与原图形关系的两点注意(1)平行关系的不变性,充分利用与x轴、y轴平行的线段,是解题的关键.(2)长度关系的变化,尤其是与y轴平行的线段计算时应特别注意,还原为原图长度时应为直观图中长度的2倍.即要记住：“横不变,纵折半,平行位置不改变”
【拓展延伸】平面图形与其直观图面积关系根据斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图中相应点距x轴距离的sin45°=倍，所以许多规则平面图形，直观图与原图面积之比都为．
【变式训练】已知在△ABC中，AC=12cm,边AC上的高BD=12cm.则其水平放置的直观图的面积是_______.
【解析】画x′轴，y′轴，两轴交于O′点，使∠x′O′y′=45°.作△ABC的直观图如图所示，则其底边A′C′=AC=12cm，B′D′=BD=6cm,故△A′B′C′的高为B′D′=cm，所以S△A′B′C′=答案：
1.如果平面图形中的两条线段平行且相等,那么在它们的直观图中对应的两条线段()A.平行且相等B.平行不相等C.相等不平行D.既不平行也不相等【解析】选A.由斜二测画法可知,平行关系不变,长度仍然相等.
2.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】选D.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,AC为直角三角形的斜边,所以AC>AB,AC>AD,AC>BC.
3.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③菱形的直观图是菱形,其中正确的是(填序号).【解析】由斜二测画法知,三角形的直观图是三角形,①正确;平行四边形的直观图依然是平行四边形,所以②正确;但是相等的线段也不一定还相等,③不正确.答案：①②
4.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′,则点M′的坐标为.【解析】在坐标系x′O′y′中,过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′,所以M′的坐标为(4,2).答案：(4,2)
5．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=6，B′C′=4，则AB边的实际长度是______．
【解析】由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则答案：10
6．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，求△AOB的面积．【解析】由图易知在△AOB中，底边OB＝4，又因为底边OB的高为8，所以面积S＝×4×8＝16．
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