高中数学-柱锥台和球的体积教案

1.1.7柱、锥、台和球的体积示范教案教学分析　　　　　本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式．利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积．直接给出了球的体积公式．值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”．三维目标　　　　　1．掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力．2．能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：体积的计算和应用．教学难点：体积公式的推导．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课　　　　　(1)回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,(2)比较柱体、锥体、台体的体积公式：,V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体的高)；,V锥体＝(S为底面积，h为锥体的高)；,V台体＝(S＋\r(SS′)＋S′)h(S′、S分别为上、下底面积，h为台体的高).,你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？讨论结果：(1)棱长为a的正方体的体积V＝a3＝a2a＝Sh；长方体的长、宽和高分别为a、b、c，其体积为V＝abc＝(ab)c＝Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V＝πr2h＝Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V＝Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高．8 圆锥的体积公式是V＝Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积V＝Sh(S为底面面积，h为高)．由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V＝(S′＋＋S)h，其中S′、S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．(2)柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如下图：思路1例1如下图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.因为棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高是h，所以棱锥C—A′DD′的体积VC—A′DD′＝×Sh＝Sh.余下的体积是Sh－Sh＝Sh.所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.变式训练　已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积．8 解：V＝(S上＋S下＋)h＝(42＋82＋)×3＝112(cm3)．即正四棱台的体积为112cm3.例2有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(下图)，共重5.8kg.已知螺帽的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8g/cm3，π≈3.14)?解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差．因为V正六棱柱＝6××12×(12×sin60°)×10＝3×122××10≈3.74×103(mm3)，V圆柱＝3.14×(10÷2)2×10≈0.785×103(mm3)，所以一个螺帽的体积V＝3.74×103－0.785×103≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)．答：这堆螺帽约有250个．变式训练　埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．金字塔高146.6m，底面边长230.4m．问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解：如下图，AC为高，BC为底面的边心距，则AC＝146.6，BC＝115.2，底面周长c＝4×230.4.S侧面积＝c·AB＝×4×230.4×≈85916.2(m2)，V＝S·AC＝×230.42×146.6≈2594046.0(m3)．答：金字塔的侧面积约是85916.2m2，体积约是2594046.0m3.思路2例3如下图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(　　)8 A．1B.C.D.活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征．解析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V＝S△ABCPA＝××1＝.答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视．变式训练1．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为(　　)A.B.C.πD.解析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为V＝×π×12×＝.答案：A2.已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．8 (1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD.如下图所示，AB＝8，BC＝6，高VO＝4.(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC边上的高为h1＝＝＝4，在△VAB中，AB边上的高为h2＝＝＝5.所以此几何体的侧面积S＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图，求其面积或体积；二是与组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问，求出几何体的面积或体积．3．（2008山东省烟台市高三期末统考，文6）已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　)A.B．4πC.D.解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2，又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的截面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为π()3＝π.答案：D点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺利获解．8 1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)A．1倍B．2倍C.倍D.倍解析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，＝(倍)．答案：C2．（2008天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为__________．解析：长方体的对角线为＝，则球的半径为，则球的表面积为4π()2＝14π.答案：14π3．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为__________．解析：4π＝R3，∴R＝(R为球的半径)．∴a＝2R＝2.∴a＝2(a为正方体棱长)．∴S表＝6a2＝24.答案：244.如下图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．证明：(1)设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，8 所以V球＝V圆柱．(2)因为S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2，所以S球＝S圆柱侧．5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×()2×4＝π(m3)．如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×()2×8＝π(m3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m．棱锥的母线长为l＝＝4.则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)．如果按方案二，仓库的高变成8m，棱锥的母线长为l＝＝10，则仓库的侧面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．(3)∵V2>V1，S2