几类不同增的函数模型教案
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几类不同增的函数模型教案

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时间:2022-08-12

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资料简介
3.2.2几类不同增长的函数模型(一)教学目标1.知识与技能利用函数增长的快慢一般规律,借助函数模型,研究解决实际问题,培养数学的应用意识.2.进程与方法在实例分析、解决的过程中,体会函数增长快慢的实际意义,从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中,享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣,激发学生学习数学知识的兴趣.(二)教学重点与难点重点:应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点:函数建模及应用函数探求问题的能力培养.(三)教学方法尝试指导与合作交流相结合,学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例,培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.(四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习引入深题①增函数的增长快慢比较方法:利用列表与图象,借助二分法求根,探究快慢相应区间获得一般结论.师:幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生:回顾总结,口述回答.以旧引新导入课题实例分析例1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案?师生合作探究解答过程例1解答:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数y=0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元14024003400440054006400740084009400将实际问题转化为数学问题,利用图象、表格及恰当的推理,应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题. 例2某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x10400………30400x/天方案二y/元增加量/元11022010330104401055010660107701088010990101010010………3030010x/天方案三y/元增加量/元10.420.80.431.60.843.21.656.43.2612.86.4725.612.8851.225.69102.451.210204.8102.4………30214748364.8107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.例2解答:作出函数y=5, (单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象.观察图象发现,在区间[10,1000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求;对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有成立.令f(x)=log7x+1–0.25x,x∈[10,1000]巩固练习1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表x051015y151305051130y2594.4781785.233733y35305580y452.31071.42951.1407x202530y1200531304505y26.37×1051.2×1072.28×1081.解:y22.解:设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮……依次有a2台,a3台……被感染,依题意有a5=10×204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.动手尝试提升解题能力 y3105130155y41.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是.2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒,并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染,问被第5轮病毒感染的计算机有多少台?归纳总结2.中学数学建模的主要步骤(1)理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义,设法用数学语言来描述问题.(2)简化假设:理解所给的实际问题之后,领悟背景中反映的实质,需要对问题作必要的简化,有时要给出一些恰当的假设,精选问题中关键或主要的变量.(3)数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、不等式、函数.(4)求解模型:以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5)检验模型:将所求的结果代回模型之中检验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建模.师生合作反思归纳总结完善生:通过独立思考和必要的交流,分析归纳例1、例2的解题过程,简述建模的主要步骤.师:点评、总理学生的回答,然后完善归纳步骤.师生合作:结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力. (6)评价与应用:如果模型与实际情形比较吻合,要对计算的结果作出解释并给出其实际意义,最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入,则要对模型改进并重复上述步骤.课后练习3.2第二课时习案学生独立完成强化基础提高能力备选例题例1有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销,买一台单价为780元,买二台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为800–20x,则总费用在乙商场购买,费用y=600x.(1)当0<x<10时,(800x–20x2)>600x∴购买影碟机低于10台,在乙商场购买.(2)当x=10时,(800x–20x2)=600x∴购买10台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样.(3)当10<x≤18时,(800x–20x2)<600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台,在甲商场购买.(4)当x≥18时,600x>440x∴购买影碟机多于18台,在甲商场购买.答:若购买小于10台,去乙商场购买;若购买10台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若购买多于10台,在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解,理解题意建立模型是关键,建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量为y给出四种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a+b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?【解析】本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有,解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升1000双,这是不太可能的. (2)设y=ax2+bx+c,将A、B、C三点代入,有,解得,所以y=–0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴x=3.5),不合实际.(3)设y=+b,将A,B两点的坐标代入,有,解得,所以y=.因此把x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.(4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得,解得,所以y=–0.8×(0.5)x+1.4.因此把x=4代入得y=–0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此,选用y=–0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟,选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图,然后作出模拟函数的图象,选择适合的几种函数类型后,再加以验证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,必须借助计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验,又必须与实际结合起来.

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