新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 练习题
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新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 练习题

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资料简介
第一章 1.3 1.3.2 第一课时函数的奇偶性基础巩固一、选择题1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有(  )A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0[答案] C[解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2.又f(0)=0,∴-[f(x)]2≤0,故选C.2.下列函数是偶函数的是(  )A.y=2x2-3B.y=x3C.y=x2,x∈[0,1]D.y=x[答案] A[解析] 对A项:f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),∴f(x)是偶函数,B、D项都为奇函数,C项中定义域不关于原点对称,函数不具有奇偶性,故选A.3.下列说法正确的是(  )A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.奇函数y=f(x)的图象一定过原点D.图象过原点的奇函数必是单调函数[答案] B[解析] A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.4.函数f(x)=-x的图象关于(  )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称[答案] C[解析] ∵f(x)=-x(x≠0),∴f(-x)=-+x=-f(x),∴f(x)为奇函数, 所以f(x)=-x的图象关于原点对称,故选C.5.若函数f(x)=为奇函数,则a等于(  )A.B.C.D.1[答案] A[解析] 方法一:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-,即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立,整理得(2a-1)x=0,∴必须有2a-1=0,∴a=,故选A.方法二:由于函数f(x)是奇函数,所以必有f(-1)=-f(1),即=-,即1+a=3(1-a),解得a=,故选A.6.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx(  )A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数又非偶函数[答案] A[解析] ∵f(-x)=f(x),∴a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.∴b=0.∴g(x)=ax3+cx.∴g(-x)=-g(x).二、填空题7.(2015·广东深圳期末)设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(2)的值是________.[答案] 4 [解析] ∵f(x)是奇函数,∴g(2)=f(2)=-f(-2)=4.8.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m、n的值分别为________.[答案] 0、0[解析] 由题意知f(0)=0,故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),即=-,∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0.三、解答题9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.[解析] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x-2又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得:f(x)=x2-2,g(x)=x.10.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.(1)求证:f(0)=1.(2)判断函数的奇偶性.[解析] (1)令x=y=0,2f(0)=2f(0)2,因f(0)≠0,则f(0)=1.(2)令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),则f(-y)=f(y),∴f(x)是偶函数.能力提升一、选择题1.设f(x)是定义在R上的任意函数,则下列叙述正确的是(  )A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数[答案] D[解析] 由函数奇、偶性的定义知D项正确.2.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a的值为(  )A.-2B.-1 C.1D.2[答案] C[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2(1-a)=0,∴a=1,故选C.3.(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)=x5-2ax3+3bx+2,且f(-2)=-3,则f(2)=(  )A.3B.5C.7D.-1[答案] C[解析] 令g(x)=x5-2ax3+3bx,则g(x)为奇函数,∴f(x)=g(x)+2,f(-2)=g(-2)+2=-g(2)+2=3,∴g(2)=5,f(2)=g(2)+2=7.4.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(  )A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数[答案] C[解析] 令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1.令x1=x,x2=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+1,∴f(-x)+1=-f(x)-1,∴f(x)+1为奇函数.二、填空题5.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x中奇函数为________(填序号).[答案] ②④[解析] ∵f(|-x|)=f(|x|),∴①为偶函数;∵f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x),∴②为奇函数;令F(x)=xf(x),则F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函数;令h(x)=f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),故④是奇函数.6.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________.[答案] 0[解析] ∵偶函数的图象关于y轴对称,∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称.若 y轴右侧的两根为x1,x2,则y轴左侧的两根为-x1,-x2,∴四根和为0.三、解答题7.函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.[分析] 利用奇函数的性质:若在原点有定义,则f(0)=0,以及已知条件f()=,求得a、b的值,从而确定解析式.[解析] (1)根据题意得即解得∴f(x)=.(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且令x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=.∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1+x>0,1+x>0,1-x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,1)上是增函数.[点拨] (1)函数的奇偶性、单调性是函数的两个重要性质,在解答问题时,要善于应用函数的观点,挖掘函数的奇偶性和单调性,并注意两者的联系.(2)函数的单调性、奇偶性常与其他性质结合在一起进行命题,此类考查形式是常考点,应引起足够的重视.8.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明仍然的结论.[解析] (1)令a=b=0,则f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0,∴f(0)=0.令a=b=1,则f(1×1)=f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.证明:∵f(1)=f[(-1)2]=-f(-1)-f(-1)=0,∴f(-1)=0.令a=-1,b=x,则f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x). 故f(x)为奇函数.

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