指数与指数幂的运算

.指数与指数幂的运算【学习目标】1.懂得分数指数的概念，把握有理指数幂的运算性质〔1〕懂得n次方根，n次根式的概念及其性质，能依据性质进行相应的根式运算；〔2〕能熟悉到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，明白它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；〔3〕能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.把握无理指数幂的概念，将指数的取值范畴推广到实数集；3.通过指数范畴的扩大，我们要能懂得运算的本质，熟悉到学问之间的联系和转化，熟悉到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算才能；4.通过对根式与分数指数幂的关系的熟悉，能学会透过表面去认清事物的本质．【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1．整数指数幂的概念n*aaaanZn个a0a1a0n10,nZ*〕ana〔a2．运算法就mnmn（1）aaa；mnmn（2）aa；m（3）aamnmn，a0；nammm（4abab.）要点二、根式的概念和运算法就1．n次方根的定义：n*如x=y〔n，n>1，y∈R〕，就x称为y的n次方根.∈Nnn为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为y；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为nny；零的奇次方根为零，记为00；nnn为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为y；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记00.为2．两个等式n*n（1）当1且nN时，aa；nnna,〔n为奇数〕（2）a|a|〔n为偶数〕Word文档 .要点诠释：①要留意上述等式在形式上的联系与区分；②运算根式的结果关键取决于根指数的取值，特殊当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能防止显现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法就*m为防止争论，我们商定a>0，n，mN，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：n1nnaamnnnma〔ama〕m-1naman要点四、有理数指数幂的运算1．有理数指数幂的运算性质a0，b0，,Q(1)aaa;〔2〕〔a〕a;〔3〕〔ab〕ab;p当a>0，p为无理数时，a是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：〔1〕根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如4242〔4〕〔4〕；21〔3〕幂指数不能任凭约分.24〕〔4〕.如〔42.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指22222数运算性质．在化简运算中，也要留意公式：a－b＝（a－b）（a＋b），（a±b）＝a±，（a±2ab＋bb）3322333223322＝a±3ab＋3ab，a－＝（a－b）（a＋ab），a＝（a＋b）（a－ab＋b）的运用，能够±bb＋b＋b简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求以下各式的值：（1）52442〔3〕;〔10〕;〔3〕〔3〕;〔4〕〔ab〕.54〔2〕 Word文档 .ab（a>b）【答案】-3；10；3；0（a=b）（ab）（4）〔a（a=b）|ab|02b〕（a0）：2y36xy（1）a；（2）32；（3）aa；3．a323xyxaa（4）51135244【答案】a；a；a；y3【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．115222222（1）aaaaaa;2211333333（2）a32aaaa；a113134（3）aa〔aa〔aa；2222〕〕（4）解法一：从里向外化为分数指数幂2362361232yxyyxyyxy3= 33xyx〔〕=xyx3xyxWord文档 .21y2=y〕〔2xx12y212=xyx54=y解法二：从外向里化为分数指数幂．6123x3yyxy3326=2〕y〔33xyxxyx23611236111=[y〔x3y={y[x〔y〕3]2}22〕]233xyxxyx1113461222xy=y3xyx54=ymnnm*【总结升华】此类问题应娴熟应用aa0,m,nN,且n1〕．当所求根式含有多重根〔a号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把以下根式用指数形式表示出来，并化简65x（1）2a；3axx13210103【答案】（1）2a；（2）x．【变式2】把以下根式化成分数指数幂：33216（182；aa0〕；（3）bb；（4）．）3x22（2）〔ax〕〔573113【答案】212435；a；b；x117766632212【解析】（1）82=2222；13313（222a4；aaaaa〔a）22〕211（3）32333bbbb；3b111 （4）=235234x〔x2352xxx〕5〔x〕Word文档 .31115=x．99133535x5〔x〕x例4.运算：11117323〔1〕〔0.0081〕3〔〕0.25〔3〕；48108831〔2〕3246343337339〔34〔6〔33125〔3〕．3〕36426〕〕【答案】3；0；21【解析】〔1〕原〔0.311221011〔〕3；式=〕33333〔2〕原式=7633233330；33〔3〕原式=-5+6+4--〔3-〕=2；留意：（1）运算次序〔能否应用公式〕；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】运算以下各式：411310.256a8a3b〔1〕〔〕43〔1233〔82〔3〕；2a.3b72〔2〕2〕8a0〕6333a2ab4b【答案】112；a．〔1〕111131【解析】〔1〕原式13442〔12〔2〔3〕2=8〕〔23〕3〕6624423112；1111123133333〔2〕a8b〕aa3a8b〕a.〔a11111〔原式11a13233〔2b33〔a33〔a〕2aba2b〔2b〕3233〕〕【变式2】运算以下各式：■高清课程：指数与指数运算例311132〔〔〕〔1.03〕63〕2302〕〔46632156【答案】21+43156【解析】原式=16+6+5+26+4 例5.化简以下各式.6=21+．4211120.55x3y2mm227327.〔1〕；〔2〕；〔3〕3〔0.027〕1151111125912xy3622xymm4611162【答案】24y；mm；0.092Word文档 .【解析】〔1〕即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；〔2〕对字母运算的懂得要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；〔3〕详细数字的运算，学会如何简化运算.21325xy〔111112536〕1xyxy4626〔〕111〔1〕〔1〕5〔x33y22654〕1106624xy24y211221mmmm211〔2〕221111mm2222mmmm120.527373〔3〕〔0.027〕212591252555=0.0273-=0.09=0.092〔〕327933举一反三：【变式1】化简：323xy〔xy〕.57【答案】x6y61113315722322y66【解析】原式=[xyy〕]〔xyxxy.232〕〔x3nna〔a0〕留意：当n为偶数a|a|.时，a〔a0〕2222xyxy【变式2】化简22223333xyxy3xy【答案】2xy232【解析】应留意到x与x之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，222233333333〔x〕〔y〕〔x〕〔y〕原式22223333xyxy22222222〔x33〔y〕x32xy[〕3232〕〔 33〔y3〕2]xyWord文档 .23xy32〔xy〕2.xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.〔1〕被开方数的指数与根指数互质；〔2〕被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；〔3〕被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简以下式子：33332〔1〕〔2〕42262x1x3x3x12223〔3〕x442x〔x1〕【答案】226；182；2〔x1〕2〔33〕2〔33〕2〔33〕【解析】〔1〕原式23324232〔31〕2〔32〔1263〕32〕226〔33〕〔363〕44442〔2〕〔21822〕42〕2〔218〕418〔44218218223226242260∴由平方根的定义得：42264184233233(3)x3x3x1〔x1〕x12x1〔x1〕x2x1|x1|x1〔x1〕2x〔x1〕2332x2x1x3x3x1.2〔x1〕■高清课程：指数与指数运算例4331122例6．已知x22xx3的值．x3，求22xx21【答案】3【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不行取的，而应设法从整体寻求结果112与条件xx3的联系，进而整体代入求值．2112211xx3，x2x9，xx72222x2x49，xx45331122321xxx〕〔xx〕322〔12x=xx24723〔71〕3151 =45453【总结升华】对于“条件求值”问题肯定要弄清已知与未知的联系，然后采纳“整体代换”或“化简后代换”Word文档 .33方法求值．此题的关键是先求x222x及x的值，然后整体代入．2x举一反三：【变式1】求值：112x1〔1〕已知2x5，求的值；2xxba〔2〕已知a>0，b>0，，b=9a，求a的值.且a=b4【答案】23；3【解析】娴熟把握幂的运算是关键问题.211x1-1-1〔1〕由x2，两边同时平方得x+2+x=25，整理得：x+x=23，就有23；52xx11a1baab9〔2〕a>0，b>0，a=b，∴〔baba〔9a〕又∵bbb〔a〕〕8199824∴a9a3a3.巩固练习一、挑选题121.如x，就16x9x等于（）3A.3x1B.13xC.〔1D.非以上答案3x2〕2.如334，就ab（）〔3〕，〔2ab4〕A.1B.5C.-1D.25213223.计算42的结果是（）A.32B.16C.64D.128111114.化简12321216128124122，结果是（）1111111321A.12B.123232D.1232C.1222443696395.aa等于（）16842A.aaaaB.C.D.6.如bbb1,b0，且aa22，就a的值等于（）aba A.6B.2C.2D.2二、填空题Word文档 .737.运算734=.8.化简b〔2b1〕〔12〕=.b221339.〔2〕〔2〕=.1210.如3b,化简4212ab9b〕=.2a2〔4a三、解答题11.运算：12123121（1）1253343；161232134（20.027500.0016.）412.运算以下各式：1041（1）〔0.064〕3730.752〔16|0.01|；823〕11abab222ab（2）；11112222abab23x1x1xx13.运算：21113333xx1x1x1Word文档 .巩固练习一、挑选题111111.化简12321216128124122，结果是（）1111111321B.123232D.1232C.12A.1222213222.计算42的结果是（）A.32B.16C.64D.128bbb3.如1,b0，且aa22，就a的值等于（）abaA.6B.2C.2D.24.以下各式中错误选项（）2115315A.aaa1〔a1〕269346B.abab〔a,b0〕111212432343C.2xy3xy4xy24y〔x,y0〕11323415abc3D.115ac〔a,b,c0〕525a2b3c41112365.2、3、6这三个数的大小关系为（）111111111111632623236326A.632B.623C.236D.326xx6.已知定义在R上的奇函数f和偶函数g〔x〕fgaa2〔x满意〔x〔x〕〕〕a0,且a1，ga，就f〔2〕（）如〔2〕15172A.2B.C.D.a44二、填空题17.222〕].[〔1123238.3232=. Word文档 .1313119.如0，就2x4322x4324x2〔xx2〕=.x1110.已知aa124，就aa=.2三、解答题11.运算：11221123（11253343；）161232134（20.027500.0016.）412.运算以下各式：0141370.752（1）〔0.064〕〔316|0.01|；32〕81122abab2ab（21111．）2222ababWord文档 .23x1x1xx13.运算：21113333xx1x1x122122114.已知a3b333334,xa3ab,yb3ab.22求证：xy3xy3为定值.1113121acababcbc23abbc15.（1）化xy142xxxcaxy；简：21ab2bx1（2）已知x〔〕0,b0〕，求的值.2b2〔axx1aWord文档