第1课时　单调性与最大(小)值

第1课时 单调性与最大(小)值 2.2 函数的基本性质求考试要求 1.借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义． 1．．函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数 定义数在函数f(x)的定义域内的一个区间间A上，如果对于任意两数x1，x2A 当当x1lt;x2时，都有f(x1)lt;f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的当当x1lt;x2时，都有f(x1)gt;f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上上是减少的图像描述 自左向右看图 像是上升的自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义数如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的称，那么就称A为单调区间．2．．函数的最值前提数函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，，得使得f(x0)＝M；；(2)对于任意xD，都有f(x)M.(3)存在x0D，，得使得f(x0)＝M；；(4)对于任意xD ，都有f(x)M.结论M为最大值M为最小值 3．．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．于图像关于y轴轴对称的函数叫作偶函数．4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在数一个非零常数T，使得当x取定义域内的有任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称数函数y＝f(x)为周期函数，非零函数T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作作f(x)的最小正周期．考微思考1．函数y＝f(x)满足意任意x1，，x2D，，x1x2，f((x1))－f((x2))x1－－x2gt;0(lt;0)，能否判断f(x)在区间D上的单调性？提示 能，f((x1))－f((x2))x1－－x2gt;0(lt;0)f(x)在在D上上是增加的(减减少的)．2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打"'或"')(1)函数y＝＝1x的递减区间是(－－，，0) (0，，＋)．(  )(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝＝0.(  )(3)若若y＝f(x)在区间D上上是增加的，则函数数y＝kf(x)(klt;0)，，y＝＝1f((x))间在区间D上上是减少的．．(  )(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像于关于x＝2对称．(  )题组二 教材改编2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋＋xC．f(x)＝2x－－2－x D．f(x)＝2x＋＋2－x 【答案】C【解析】f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝＝x2＋＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋＋2－x为偶函数．3．函数y＝＝xx－1在区间[2,3]上的最大值是________．【答案】2 【解析】数函数y＝＝xx－1＝＝1＋＋1x－1 在在[2,3]上为减函数，当当x＝2时，y＝＝xx－1取得最大值22－1＝＝2.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式式f(x)lt;0的解集为________． 【答案】(－2,0)(2,5]】 【解析】 由图像当可知，当0lt;xlt;2，时，f(x)gt;0；；当当2lt;x5时，f(x)lt;0，又f(x)是奇函数，当－2lt;xlt;0时，f(x)lt;0，当－5xlt;－2时，f(x)gt;0.综上，f(x)lt;0的解集为(－2,0)(2,5]．题组三 易错自纠5．函数f(x)＝(x＋1)x－1x＋1是是________函数．(填填"奇'"偶'或"非奇非偶'')【答案】 非奇非偶【解析】f(x)的定义域为(－－，－1)[1，，＋)不关于原点对称．故故f(x)为非奇非偶函数． 6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函且数，且f(a＋1)lt;f(2a)，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1,1)【解析】 由条件知îîïïííïïìì－－2a＋12，，－－22a2，，a＋1gt;2a，，解得－1alt;1. 第第1课时  单调性与最大(小)值题型一确定函数的单调性 点命题点1 求具体函数的单调区间例例1 (1)函数y＝＝12log(－x2＋＋x＋6)的的递增区间为( )A.èèææøøöö12，，3 B.èèææøøöö－－2，，12C．(－2,3) D.èèææøøöö12，＋【答案】A【解析】 由－x2＋＋x＋6gt;0，得－2lt;xlt;3，，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋＋x＋＋6，则y＝＝12logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于数求函数t＝－x2＋＋x＋6在(－2,3)上的递减得区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋＋x＋6在定义域(－2,3)上的递减区间为èèææøøöö12，，3，故选A. (2)设函数f(x)＝＝îîïïííïïìì1，xgt;0，，0，x＝0，，－－1，xlt;0，，g(x)＝＝x2f(x－1)，则函数g(x)的的递减区间是__________．【答案】[0,1)【解析】知由题意知g(x)＝＝îîïïííïïììx2，，xgt;1，，0，x＝1，，－－x2，，xlt;1， ，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1)． 点命题点2 判断或证明函数的单调性例例2 试讨论函数f(x)＝＝axx－1(a0)在(－－1,1)上的单调性．【答案】 【解析】 方法一 设－1lt;x1lt;x2lt;1，f(x)＝aèèççææøø÷÷ööx－1＋1x－1＝＝aèèææøøöö1＋＋1x－1，，f(x1)－f(x2)＝aèèææøøöö1＋＋1x1－－1－－aèèææøøöö1＋＋1x2－－1 ＝a((x2－－x1))((x1－－1))((x2－－1))，，由于－1lt;x1lt;x2lt;1，以所以x2－－x1gt;0，x1－－1lt;0，x2－－1lt;0，当故当agt;0，时，f(x1)－f(x2)gt;0，即f(x1)gt;f(x2)，，数函数f(x)在(－1,1)上是减少的；；当当alt;0时，f(x1)－f(x2)lt;0，即即f(x1)lt;f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上上是增加的．．方法二 f(x)＝＝((ax))((x－1))－ax((x－1))((x－1))2＝a((x－1)) －ax((x－1))2＝－a((x－1))2.当当agt;0时，f(x)lt;0，函数f(x)在(－1,1)上是减少的；；当当alt;0时，f(x)gt;0，函数f(x)在(－1,1)上是增加的．．思维升华 确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图图像象法：由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像象不连续的单调区间要分开写，用"和'或"，'连接，不能用"'连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数"同增异减'的原则时，需先确定简单函数的单调性．练跟踪训练1 (1)函数f(x)＝|x－2|x的的递减区间是________．【答案】[1,2] 【解析】f(x)＝＝îîïïííïïììx2－－2x，x2，，－－x2＋＋2x，xlt;2. 出画出f(x)的大致图像像(如图所示)，知由图知f(x)的的递减区间是[1,2]． (2)已知agt;0，函数f(x)＝x＋＋ax(xgt;0)，证明：数函数f(x)在(0，，a]上上是减少的，在[a，，＋)上上是增加的．．证明  方法一 (定义法)设设x1gt;x2gt;0，f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－－x2－ax2 ＝＝(x1－－x2)＋＋a((x2－－x1))x1x2＝((x1－－x2))((x1x2－－a))x1x2，， ∵∵x1gt;x2gt;0，，x1－－x2gt;0，x1x2gt;0，当当x1，，x2(0，，a]时，0lt;x1x2lt;a，，x1x2－－alt;0，f(x1)－f(x2)lt;0，f(x1)lt;f(x2)，f(x)在(0，，a]上上是减少的；；当当x1，，x2[a，＋)时，x1x2gt;a，x1x2－－agt;0，，f(x1)－f(x2)gt;0，f(x1)gt;f(x2)，f(x)在[a，＋)上上是增加的．．方法二 (导数法)f(x)＝1－－ax2＝x2－－ax2(xgt;0)，令令f(x)gt;0x2－－agt;0xgt;a，令令f(x)lt;0x2－－alt;00lt;xlt;a，f(x)在(0，，a]上上是减少的，在[a，＋)上上是增加的．． 题型二函数单调性的应用 点命题点1 比较函数值的大小例例3  (1)设设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋)上上是减少的，则( )A．．2332321l2og4fff--æöæö>>ç÷ç÷èøèöç÷èøøæ B．．2332321log42fff--æöæö>>ç÷ç÷èøèøæöç÷èøC．．3233212log42fff--æö>>ç÷èæöæöç÷ç÷èøøøèD．．3322312log42fff--æö>>ç÷èæöæöç÷ç÷èøøøè【答案】C【解析】f(x)为偶函数且在(0，＋)上上是减少的，，f èèææøøöölog314＝＝f(－log34)＝f(log34)，又又log34gt;1,0lt;322-lt;232-lt;1，f(log34)lt;332222,ff--ææö