单调性与最大（小）值

1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数单调性的概念【教学目标】知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识.利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.【教学重点】理解增函数、减函数的概念【教学难点】单调性概念的形成与应用.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f(x)=x的图象：yx11O函数f(x)=x的图象特征由左到右是上升的.师：引导学生观察图象的升降.生：看图.并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.问题探究Oxy观察二次函数f(x)=x2的图象：函数f(x)=x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.师：不同函数，其图象上升、下降规律不同.且同一函数在不同区间上的变化规律也不同.这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由–4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变” 列表：x…–4–3–2–10f(x)=x21694101234…14916…x∈(–∞，0]时，x增大，f(x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f(x)也增大，图象上升.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降.称函数为减函数..从定性分析到定量分析.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；xx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.xx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f(x)=x2在区间(0，+∞)上.任取x1、x2.若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，即x12＜x22.师：称f(x)=x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1如图是定义在区间[–5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y=f(x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5].其中y=f(x)在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.师：投影变式训练1掌握利用图象划分函数单调区间的方法. 变式训练1：判断函数f(x)=的单调区间。例2物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.变式训练2：证明函数f(x)=x2-2x在（1，+∞）上是增函数.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1任取x，x∈D，且x