小学奥数_最大公约数与最小公倍数

最大公约数和最小公倍数杨秋洁精锐教育 一、基本概念1、公约数与最大公约数；2、公倍数与最小公倍数；3、求最大公约数与最小公倍数的方法：（1）列举法：（2）分解质因数法；（3）短除法;4、最大公约数与最小公倍数的比较. 1、公约数与最大公约数的概念看下面的两行数：12的约数有：1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；定义：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做最大公约数。如12和18的公约数有1、2、3、6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6特殊地，如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。即：如果（a，b）＝1，那么a，b两数就是互质数，例如：2和3、4和9，6和25等 2、公倍数与最小公倍数的概念我们看下面的两行数3的倍数：36912151821242730333639424548……5的倍数：510152025303540455055……像15、30、45。。。这样，它们是3和5公有的倍数，叫做3和5的公倍数；其中最小的一个是15，15就叫做3和5的最小公倍数。记作：[3，5]＝15 3.怎样求两个数的最大公约数（1）列举法：（2）分解质因数法：（3）短除法： 18的约数：30的约数：公约数：1、2、3、6最大公约数:6123691812356101530（1）列举法例如，求18和30的最大公约数。 例如，求18和30的最大公约数。18293318=2×3×3302153530=2×3×5公有的质因数的积就是最大公约数（2）分解质因数法（18，30）＝2×3＝6 例如：求18和30的最大公约数。1830293318和30的最大公约数:155（18，30）＝2×3=6（3）短除法 5、怎样求最小公倍数1、列举法2、分解因数法3、短除法 （1）、列举法3的倍数：36912151821242730333639424548。。。5的倍数：510152025303540455055.。。。公倍数；15、30、45、。。。其中最小的一个是15，15就叫做3和5的最小公倍数。记作：[3，5]＝15 例如，求18和30的最小公倍数18293318=2×3×3302153530=2×3×5公倍数的质因数包含两个数所有的质因数（2）分解质因数法[18、30]＝2×3×3×5＝90 例如：求18和48的最小公倍数1830293318和48的最小公倍数：2×3×3×5=90155也可以写成[18，30]＝2×3×3×5=90（3）短除法 4.最大公约数与最小公倍数的比较（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 二、简单应用（1）求整除中几个数的共同的除数——最大公约数例1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：因为要求的数去除30、60、75、都能整除，所以要求的数是30、60、75的公约数，而其中最大的就是最大公约数。 用短除法求最大公约数解3060756121524553（30，60，75）＝5×3＝15答：这个数最大是15。 （2）整除中几个数共同的被除数——最小公倍数例2、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析：这个数能被3、4、5整除，说明它是3、4、5的公倍数，解：∵[3，4，5]＝60答：这个数最小是60。 应用举例（3）不同长度的拆分例3、有三段铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要将它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，每段长度应当是120、180、300的公约数；最长，长度应当是120、180、300的最大公约数 解1201803004610235302（120，180，300）＝30×2＝60答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。所以，每小段最长是60厘米。120÷60＋180÷60＋300÷60＝2＋3＋5＝10（段） （4）合理设置工序的工位例4、加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，且正好是3、10和5的公倍数。 解：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，并且是3、10和5的公倍数。31053215[3，10，5]＝5×3×2×1＝30各道工序均应加工30个零件。答：三道工序至少分别需要10个、3个、6个工人。30÷3＝1030÷10＝330÷5＝6。 例5、一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了65瓶；已知，平均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？分析：由题意知参加会餐的人数应当是2、3、4的公倍数。试一下看看 解：∵[2，3，4]＝12∴参加会餐的人数应当是12的倍数，又∵每12人用12÷2＋12÷3＋12÷4＝6＋4＋3＝13（个饮料瓶）65÷13＝5∴参加会餐的人数是12×5＝60（人）答：参加会餐的人数是60人。 思路回眸（一）在解决有关最大公约数或最小公倍数问题时，关键是分析题意，弄清是求最大公约数或最小公倍数。在把几个数进行拆分的时候，常常当需要求几个数共同的约数，可以利用短除法求几个数的最大公约数。一般情况下，当求的数相对于已知条件处于被除数位置时，求的是最小公倍数；拼或同时的时候，求公倍数 三、最大公约数与最小公倍数的关系例9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个数是多少？分析：最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积即：（a，b）×[a，b]＝a×b利用这个关系可以迅速地解答此类问题。如果不理解这个关系式，我们看下面的分析 解：设所求的数是x，则有X28y7∵X与28的最小公倍数是2524∴4×y×7＝252∴y＝252÷4÷7＝9∴x＝4×y＝4×9＝36答：这个数是36。 我们来看最大公约数与最小公倍数的关系∴x28＝4×y×4×7＝4×252而x＝4×y，28＝4×7在上面的题目中，（x，28）＝4[x，28]＝4×y×7＝252即：（a，b）×[a，b]＝a×b 四、求两个较大数最大公约数的方法辗转相除法例6、一张长方形纸片，长2703厘米，宽1113厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大，问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析：小正方形的边长应该是2703和1113的最大公约数 怎样求2703和1113的最大公约数？我们可以这样想：剪成的正方形的边长既然是1113的约数，那么剪好的正方形一定能铺满以1113为边的大正方形，于是……2703厘米1113厘米477厘米477厘米159477477 辗转相除法2703÷1113＝2………477（第一步：大数除以小数）1113÷477＝2………159（第二步：小数除以第一步的余数）477÷159=3（第三步：第一步的余数除以第二步的余数）这里2703÷159=171113÷159=7(7,17)＝1（除到整除时，最后一步的除数就是最大公约数）这种求最大公约数的方法——辗转相除法 例7、求4811和1981的最大公约数和最小公倍数解：4811÷1981＝2………8491981÷849＝2………283849÷283=3(4811,1981)＝283根据最大公约数与最小公倍数的关系可以求出[4811,1981]＝4811×1981÷283=33677 小结1、最大公约数和最小公倍数的概念2、最大公约数和最小公倍数的关系3、怎样求最大公约数和最小公倍数4、应用题型（1）最大公约数的应用（2）求最小公倍数的应用（3）最大公约数与最小公倍数关系的应用（4）辗转相除法的应用