高中数学余弦定理课件

1．2　余弦定理 一、余弦定理1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.2．余弦定理的推论：cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________. 3．余弦定理与勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立． 二、余弦定理的应用利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：1．已知三边，求⑪________.2．已知两边和它们的夹角，求⑫________和⑬________. 友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理是⑮________的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以⑯________；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰________，或已知两边及夹角求⑱________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的． 在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形． 特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论. ： 先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．[例2]在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求角A、B和边c的值． [变式训练2]　如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长． 解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD. [例3]　在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状． 当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． [变式训练3]　(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． [例4]　(数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3km，BC＝3.7km，AC＝4.7km，问该医院应建在何处？(精确到0.1km或1°) 分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角． 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.